問題3.4.4
曲線$C$を$r=f(\theta)\ (\alpha \le \theta \le \beta)$と極座標表示すると、$C$の長さは$$l(C)=\int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{{f(\theta)}^2+{f'(\theta)}^2} d\theta$$で与えられることを示し、これを用いて次の曲線の長さを求めよ。
（１） $r=a(1+\cos \theta)$ $(0 \le t \le 2\pi,\ a>0)$ （カーディオイド）
（２） $r=a\theta$ $(0 \le t \le \alpha,\ a>0)$ （アルキメデスの螺旋）
（３） $r=e^{-a\theta}$ $(0 \le t < \infty,\ a>0)$ （等角螺旋）
《ポイント》
曲線$C$が$r=f(\theta)\ (\alpha \le \theta \le \beta)$と極座標表示されているとき、パラメータ表示に直すと$$\begin{cases} x(\theta)=f(\theta)\cos \theta \\ y(\theta)=f(\theta)\sin \theta \end{cases}$$となります。したがって$$\begin{cases} x^{\prime}(\theta)=f^{\prime}(\theta)\cos \theta -f(\theta)\sin \theta \\ y^{\prime}(\theta)=f^{\prime}(\theta)\sin \theta +f(\theta)\cos \theta \end{cases}$$となるので、曲線$C$の長さ$l(C)$は$$\begin{align}l(C) &=\int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{{x^{\prime}(\theta)}^2+{y^{\prime}(\theta)}^2} d\theta \\
&=\int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{(f^{\prime}(\theta)\cos \theta -f(\theta)\sin \theta)^2+(f^{\prime}(\theta)\sin \theta +f(\theta)\cos \theta)^2} d\theta \\
&=\int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{f(\theta)(\cos^2 \theta +\sin^2 \theta)+f^{\prime}(\theta)(\cos^2 \theta +\sin^2 \theta)} d\theta \\
&=\int^{\beta}_{\alpha} \sqrt{{f(\theta)}^2+{f'(\theta)}^2} d\theta \end{align}$$と表すことができます。これに各関数を当てはめていけばOKです。
《解答例》
（１）
曲線$C$は $r=a(1+\cos \theta)$ $(0 \le t \le 2\pi,\ a>0)$ （カーディオイド）で定められ、$r’=-a\sin \theta$ より、$$\begin{align}l(C)&=\int^{2\pi}_{0} \sqrt{r^2+{(r’)}^2}\ d\theta \\ &=\int^{2\pi}_{0} \sqrt{a^2(1+\cos \theta)^2+a^2\sin^2 \theta}\ d\theta \\
&=a\int^{2\pi}_{0} \sqrt{(1+2\cos \theta+\cos^2 \theta)+\sin^2 \theta}\ d\theta \\
&=a\int^{2\pi}_{0} \sqrt{2+2\cos \theta}\ d\theta \\
&=\sqrt{2}a\int^{2\pi}_{0} \sqrt{1+\cos \theta}\ d\theta \\
&=2a\int^{2\pi}_{0} \sqrt{\dfrac{1+\cos \theta}{2}}\ d\theta \\
&=2a\int^{2\pi}_{0} \sqrt{\cos^2 \dfrac{\theta}{2}}\ d\theta \\
&=4a\int^{\pi}_{0} \cos \dfrac{\theta}{2} d\theta \ \ \ \left(\because \sqrt{\cos^2 \dfrac{\theta}{2}}\text{は偶関数}\right)\\
&=8a\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos t\ dt \ \ \ \left(t=2\theta\right)\\
&=8a\left[\sin t\right]^{\frac{\pi}{2}}_{0} \\
&=8a \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（２）
曲線$C$は $r=a\theta$ $(0 \le t \le \alpha,\ a>0)$ （アルキメデスの螺旋）で定められ、$r’=a$ より、$$\begin{align}l(C)&=\int^{\alpha}_{0} \sqrt{r^2+{(r’)}^2}\ d\theta \\ &=\int^{\alpha}_{0} \sqrt{(a\theta)^2+a^2}\ d\theta \\
&=a\int^{\alpha}_{0} \sqrt{\theta^2+1}\ d\theta \\
&=\dfrac{a}{2} \left[\theta\sqrt{\theta^2+1}+\log \left(\theta+\sqrt{\theta^2+1}\right)\right]^{\alpha}_{0} \\
&=\dfrac{a}{2} \left\{\alpha\sqrt{\alpha^2+1}+\log \left(\alpha+\sqrt{\alpha^2+1}\right)\right\} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
※式変形の途中で、公式
$$(\ast) \ \displaystyle \int \sqrt{a+x^2}dx=\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{a+x^2}+a\log \left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\right)$$を用いています。
（３）
曲線$C$は $r=e^{-a\theta}$ $(0 \le t < \infty,\ a>0)$（等角螺旋）で定められ、$r’=-ae^{-a\theta}$ より、$$\begin{align}l(C)&=\int^{\infty}_{0} \sqrt{r^2+{(r’)}^2}\ d\theta \\
&=\int^{\infty}_{0} \sqrt{e^{-2a\theta}+a^2 e^{-2a\theta}}\ d\theta \\
&=\int^{\infty}_{0} \sqrt{1+a^2}\ e^{-a\theta}\ d\theta \\
&=-\dfrac{\sqrt{1+a^2}}{a} \left[e^{-a\theta}\right]^{\infty}_{0} \\
&=\dfrac{\sqrt{1+a^2}}{a} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
復習例題未設定