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問題4.1.1

極限値を求めよ。

（１） ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^{2}y}{x^2+y^2}}}$

（２） ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-2y^2}{x^2+y^2}}}$

（３） ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}}}$

（４） ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^3+x^{2}y}{2x^2+y^2}}}$

（５） ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x\sqrt{|y|}}{\sqrt{x^2+y^2}}}}$

（６） ${\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x{y}^2}{x^2+y^4}}}$

 

《ポイント》

2変数関数の極限値を問う問題はこの単元の基礎になっています。まずは分母に着目し、どのような近付け方が適切か、またどのような不等関係による評価が必要なのか、よく吟味する必要があります。

 

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《解答例》

（１）

$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ と置くと、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^{2}y}{x^2+y^2}}}& ={\displaystyle \underset{r\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{r^3{\cos }^2\theta \sin \theta }{r^2}}}\\ & ={\displaystyle \underset{r\to 0}{lim}r{\cos }^2\theta \sin \theta }\\ & =0\end{array}$$となる。これより$x$、$y$の近付け方によらず極限が一致し、極限値 $0$ が存在する。

（答）$0$

 

（２）

$x=0$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-2y^2}{x^2+y^2}}}& ={\displaystyle \underset{y\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{-2y^2}{y^2}}}\\ & =-2\end{array}$$となり、$y=0$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^2-2y^2}{x^2+y^2}}}& ={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x^2}{x^2}}}\\ & =1\end{array}$$となる。これより$x$、$y$の近付け方によって極限が異なるため、極限値は存在しない。

（答）存在しない

 

（３）

$x=0$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}}}& ={\displaystyle \underset{y\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{2y^2}{y^2}}}\\ & =2\end{array}$$となり、$y=0$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^2+2y^2}{2x^2+y^2}}}& ={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x^2}{2x^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$となる。これより$x$、$y$の近付け方によって極限が異なるため、極限値は存在しない。

（答）存在しない

 

（４）

$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ と置くと、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x^3+x^{2}y}{2x^2+y^2}}}& ={\displaystyle \underset{r\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{r^3({\cos }^3\theta +{\cos }^2\theta \sin \theta )}{r^2(2{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}}}\\ & ={\displaystyle \underset{r\to 0}{lim}r{\displaystyle \frac{{\cos }^3\theta +{\cos }^2\theta \sin \theta }{2{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }}}\\ & =0\end{array}$$となる。これより$x$、$y$の近付け方によらず極限が一致し、極限値 $0$ が存在する。

（答）$0$

 

（５）

$x=r\cos \theta$、$y=r\sin \theta$ と置くと、
$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x\sqrt{|y|}}{\sqrt{x^2+y^2}}}}& ={\displaystyle \underset{r\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{r^{\frac{3}{2}}\cos \theta \sqrt{|\sin \theta |}}{r}}}\\ & ={\displaystyle \underset{r\to 0}{lim}{r}^{\frac{1}{2}}\cos \theta \sqrt{|\sin \theta |}}\\ & =0\end{array}$$となる。これより$x$、$y$の近付け方によらず極限が一致し、極限値 $0$ が存在する。

（答）$0$

 

（６）

$x=0$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x{y}^2}{x^2+y^4}}}& ={\displaystyle \underset{y\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{0}{y^4}}}\\ & =0\end{array}$$となり、$y=\sqrt{x}$ とすると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}{\displaystyle \frac{x{y}^2}{x^2+y^4}}}& ={\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x^2}{2x^2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$となる。これより$x$、$y$の近付け方によって極限が異なるため、極限値は存在しない。

（答）存在しない

※上記の解答例では直線 $x=0$ に沿った近付け方と曲線 $y=\sqrt{x}$ に沿った近付け方を比較していますが、曲線 $y=-\sqrt{x}$ や曲線 $y=\sqrt{-x}$ に沿った近付け方と比較しても構わないでしょう。

 

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復習例題は設定していません。

 

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