問題4.2.10
次の変換のヤコビアン$\dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)}$、$\dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}$を求めよ。
（１）$x=r\sin \theta \cos \varphi$、$y=r\sin \theta \sin \varphi$、$z=r\cos \theta$
（２）$x=u-2w$、$y=v-w+1$、$z=u-w+2$
《ポイント》
3次元の変換におけるヤコビアン$\dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)}$は以下のような正方行列の行列式として与えられます。$$\begin{align} \dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)}
&= \det \left( \begin{array} & x_r & x_\theta & x_\varphi \\ y_r & y_\theta & y_\varphi \\ z_r & z_\theta & z_\varphi \end{array} \right) \\
&=x_r y_\theta z_\varphi + x_\theta y_\varphi z_r + x_\varphi y_r z_\theta \\ &\ \ \ – x_r y_\varphi z_\theta – x_\theta y_r z_\varphi – x_\varphi y_\theta z_r \tag*{･･･ (★)} \end{align}$$実際には$(★)$式を計算すればOKです。イメージとしては以下のような計算の仕方となります（cf.「サラスの公式」）。
下図において実線で結ばれた3項を正の項、破線で結ばれた3項を負の項として計6個の項をすべて足し合わせたものが3次の正方行列の行列式です。
《解答例》
（１）
$x=r\sin \theta \cos \varphi$、$y=r\sin \theta \sin \varphi$、$z=r\cos \theta$
$$\begin{align} \dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta,\varphi)}
&= \det \left( \begin{array} & x_r & x_\theta & x_\varphi \\ y_r & y_\theta & y_\varphi \\ z_r & z_\theta & z_\varphi \end{array} \right) \\
&= \det \left( \begin{array}
& \sin \theta \cos \varphi & r\cos \theta \cos \varphi & -r\sin \theta \sin \varphi \\
\sin \theta \sin \varphi & r\cos \theta \sin \varphi & \ \ r\sin \theta \cos \varphi \\
\ \ \ \cos \theta & \ -r\sin \theta & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \end{array} \right) \\
&=0 + r\cos \theta \cos \varphi \cdot r\sin \theta \cos \varphi \cdot \cos \theta \\ &\ \ \ -r\sin \theta \sin \varphi \cdot \sin \theta \sin \varphi \cdot (-r\sin \theta) \\ &\ \ \ – \sin \theta \cos \varphi \cdot r\sin \theta \cos \varphi \cdot (-r\sin \theta) \\ & \ \ \ – 0 +r\sin \theta \sin \varphi \cdot r\cos \theta \sin \varphi \cdot \cos \theta \\
&=r^2(\sin \theta\cos^2 \theta \cos^2 \varphi+\sin^3 \theta \sin^2 \varphi\\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ +\sin^3 \theta \cos^2 \varphi +\sin \theta\cos^2 \theta \sin^2 \varphi) \\ &=r^2(\sin^2 \theta+\cos^2 \theta)\sin \theta \\ &=r^2 \sin \theta \ \ \cdots \cdots(\text{答}) \end{align}$$
※これは3次元の極座標のヤコビアンです。3次元の積分を計算する際に利用することになるので、導出方法や値は知っていた方が有利です。
（２）
$$\begin{align} \dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}
&= \det \left( \begin{array} & x_u & x_v & x_w \\ y_u & y_v & y_w \\ z_u & z_v & z_w \end{array} \right) \\
&= \det \left( \begin{array}
& 1 & 0 & -2 \\
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & -1 \end{array} \right) \\
&=-1+0+0-(-2)-0-0 \\
&=1 \ \ \cdots \cdots(\text{答}) \end{align}$$
復習例題は設定していません。