微積4.2.3

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問題4.2.3

次の曲面の、与えられた点における接平面と法線の方程式を求めよ。

(1)z=3x2y+xy (1,1,4)

(2)z=x222+y232 (2,3, 2)

(3)z=xx+y (2, 1, 2)

(4)z=tan1yx (1,1,π4)

 

《ポイント》

前問の結果を利用して解答しましょう。

《補題》(cf. 問題4.2.2)
曲面 z=f(x,y) 上の1点 P(a,b,f(a,b)) における法線は、次の式で与えられる。xafx(a,b)=ybfy(a,b)=zf(a,b)1

《定理》
関数f(x,y)が点(a,b)で全微分可能ならば、曲面S:z=f(x,y)上のP(a,b,f(a,b)) において、Sの接平面πが存在し、π:zf(a,b)=fx(a,b)(xa)+fy(a,b)(yb)と表せる。

 


 

《解答例》

(1)z=3x2y+xy (1,1,4)

zx=6xy+yzy=3x2+x より、接平面の方程式はz=7(x1)+4(y+1)4 7x4y+z7=0と求められる。また、法線の方程式はx17=y+14=z4と求められる。

※巻末の解答ではx17=y+14=z+4となっていますが、各辺に1を乗じているだけなのでどちらでもOKです。

 

(2)z=x222+y232 (2,3, 2)

zx=x2zy=29y より、接平面の方程式はz=(x2)23(y+3)+2 x23yz2=0 3x2y3z6=0と求められる。また、法線の方程式はx21=y+323=z21 x23=y+32=z23と求められる。

 

(3)z=xx+y (2, 1, 2)

zx=y(x+y)2zy=x(x+y)2 より、接平面の方程式はz=(x+2)+2(y1)+2 x+2yz+2=0と求められる。また、法線の方程式はx+21=y12=z21 x+2=y12=z+2と求められる。

 

(4)z=tan1yx (1,1,π4)

zx=yx2+y2zy=xx2+y2 より、接平面の方程式はz=12(x1)+12(y+1)π4 12x+12yzπ4=0 x+y2zπ2=0と求められる。また、法線の方程式はx112=y+112=z+π41 x1=y+1=12(z+π4)と求められる。

 


 

復習例題は設定していません。

 


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