問題4.2.4
合成関数の微分を用いて$\dfrac{dz}{dt}$を求めよ。
（１）$z=xy^2-x^2y$、$x=t^2$、$y=e^t$
（２）$z=\tan^{-1}xy$、$x=e^t+e^{-t}$、$y=e^{2t}$
（３）$z=e^{x^2y}$、$x=\cos t$、$y=t^2$
（４）$z=f(x,y)$、$x=\cos t$、$y=\sin t$
《ポイント》
合成関数の微分の公式は以下のようなものでした。$$\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt}$$これにより合成関数を微分することができます。
《解答例》
（１）$z=xy^2-x^2y$、$x=t^2$、$y=e^t$
$$\begin{align} \dfrac{dz}{dt} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} \\ &=(y^2-2xy)\cdot 2t+(2xy-x^2)e^t \\ &=(e^{2t}-2t^2e^t)\cdot 2t+(2t^2e^t-t^4)e^t \\ &=2(t^2+t)e^{2t}-(t^4+4t^3)e^t \ \ \cdots \cdots(\text{答}) \end{align}$$
（２）$z=\tan^{-1}xy$、$x=e^t+e^{-t}$、$y=e^{2t}$
$$\begin{align} \dfrac{dz}{dt} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} \\ &=\dfrac{y}{1+(xy)^2}(e^t-e^{-t})+\dfrac{x}{1+(xy)^2}\cdot 2e^{2t} \\ &=\dfrac{1}{1+(xy)^2}\{(e^t-e^{-t})y+2xe^{2t}\} \\ &=\dfrac{1}{1+(e^{3t}+e^{t})^2}\{(e^{3t}-e^{t})+2(e^{3t}+e^{t})\} \\ &=\dfrac{3e^{3t}+e^{t}}{1+e^{2t}+2e^{4t}+e^{6t}} \ \ \cdots \cdots(\text{答}) \end{align}$$
（３）$z=e^{x^2y}$、$x=\cos t$、$y=t^2$
$$\begin{align} \dfrac{dz}{dt} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} \\ &=2xye^{x^2y}(-\sin t)+x^2e^{x^2y}\cdot 2t \\ &=-2t^2\cos t \sin t \cdot e^{t^2\cos^2 t}+2t\cos^2 t \cdot e^{t^2\cos^2 t} \\ &=2t\cos t(\cos t-t\sin t)e^{t^2\cos^2 t} \ \ \cdots \cdots(\text{答})\end{align}$$
（４）$z=f(x,y)$、$x=\cos t$、$y=\sin t$
$$\begin{align} \dfrac{dz}{dt} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{dx}{dt}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} \\
&=f_x(x,y)(-\sin t)+f_y(x,y)\cos t \\
&=-f_x(\cos t,\sin t)\sin t+f_y(\cos t,\sin t)\cos t \ \ \cdots \cdots(\text{答})\end{align}$$
復習例題は設定していません。