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問題4.2.7

（１）$z=f(x,y)$、$u=x+y$、$v=x-y$ のとき、$z_u$、$z_v$を$f_x$、$f_y$を用いて表せ。

（２）$z=f(x,y)$ が１変数の関数$g(t)$を用いて、$z=g(x+y)$ と書ける必要十分条件は、$$f_x(x,y)=f_y(x,y)$$であることを示せ。

 

《ポイント》

（２）で問われている命題は定理としても良いレベルの内容ですが、（１）がちょっとした誘導になっています。どのような変数変換を施すかがポイントです。

 

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《解答例》

（１）

$u=x+y$、$v=x-y$ より、$$\{\begin{array}{l}x={\displaystyle \frac{1}{2}}(u+v)\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}(u-v)\end{array}$$となるので$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial u}}& ={\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial u}}+{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}{\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u}}\\ & =f_x\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+f_y\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(f_x+f_y)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}}& ={\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}}{\displaystyle \frac{\partial x}{\partial v}}+{\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}}{\displaystyle \frac{\partial y}{\partial v}}\\ & =f_x\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+f_y\cdot (-{\displaystyle \frac{1}{2}})\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}(f_x-f_y)\end{array}$$と表せる。

 

（２）

まず必要性（$⟹$）を示す。

$z=g(x+y)$ と書けるとき、$f_x=g^{\prime }(x+y)$、$f_y=g^{\prime }(x+y)$ となるので、$$f_x(x,y)=f_y(x,y)$$が成り立つ。よって必要であることが示された。

次に十分性（$⟸$）を示す。

$f_x(x,y)=f_y(x,y)$ が成り立つとき、$u=x+y$、$v=x-y$ と変数変換を施すと（１）の結果より、$${\displaystyle \frac{\partial z}{\partial v}}=0$$となる。これより、関数$z$は変数$v$によらず$u$のみに依存する関数となる。即ち、このとき $z=f(x,y)$ はある１変数関数$g(t)$を用いて $z=g(u)$、つまり$$z=g(x+y)$$と書き直すことができる。

以上より、$z=f(x,y)$ が１変数の関数$g(t)$を用いて、$z=g(x+y)$ と書ける必要十分条件は、$$f_x(x,y)=f_y(x,y)$$であることが示された。

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復習例題は設定していません。

 

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