問題4.2.8
（１）$z=f(x,y)$、$x=r \cos \theta$、$y=r \sin \theta$ のとき、$z_r$、$z_\theta$を$f_x$、$f_y$を用いて表せ。
（２）$z=f(x,y)$ が $z=g(r)$（$r=\sqrt{x^2+y^2}$）と書き表される必要十分条件は、$yf_x=xf_y$ であることを示せ。
《ポイント》
前問の類題です。
《解答例》
（１）
$$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial r} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial r}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial r} \\
&=f_x \cos \theta +f_y \sin \theta \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial \theta} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \theta}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial \theta} \\
&=f_x \cdot (-r\sin \theta) +f_y \cdot r\cos \theta \\
&=-f_x r\sin \theta+f_y r\cos \theta \end{align}$$と表せる。
（２）
$z$が$r$のみに依存する関数であることと、$\theta$の偏導関数$\dfrac{\partial z}{\partial \theta}$が恒等的に$0$に等しくなることは同値である。故に（１）より、$$-f_x r\sin \theta+f_y r\cos \theta=0$$ $$\therefore f_x r\sin \theta = f_y r\cos \theta$$ $$\therefore yf_x= xf_y$$と式変形できるから、$z=f(x,y)$ が $z=g(r)$（$r=\sqrt{x^2+y^2}$）と書き表される必要十分条件は、$$yf_x=xf_y$$であることが示された。
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復習例題は設定していません。