培風館『入門微分積分』第4章・問題4.2.8の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題4.2.8
（２）$z=f(x,y)$ が $z=g(r)$（$r=\sqrt{x^2+y^2}$）と書き表される必要十分条件は、$yf_x=xf_y$ であることを示せ。
解法の要点
解答例
$$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial r} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial r}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial r} \\
&=f_x \cos \theta +f_y \sin \theta \end{align}$$ $$\begin{align} \dfrac{\partial z}{\partial \theta} &=\dfrac{\partial z}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial \theta}+\dfrac{\partial z}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial \theta} \\
&=f_x \cdot (-r\sin \theta) +f_y \cdot r\cos \theta \\
&=-f_x r\sin \theta+f_y r\cos \theta \end{align}$$と表せる。
（２）
$z$が$r$のみに依存する関数であることと、$\theta$の偏導関数$\dfrac{\partial z}{\partial \theta}$が恒等的に$0$に等しくなることは同値である。故に（１）より、$$-f_x r\sin \theta+f_y r\cos \theta=0$$ $$\therefore f_x r\sin \theta = f_y r\cos \theta$$ $$\therefore yf_x= xf_y$$と式変形できるから、$z=f(x,y)$ が $z=g(r)$（$r=\sqrt{x^2+y^2}$）と書き表される必要十分条件は、$$yf_x=xf_y$$であることが示された。