微積4.2.9

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培風館『入門微分積分』第4章・問題4.2.9の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。

問題4.2.9

次の変換のヤコビアン$\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$、$\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,t)}$を求めよ。

（１）$x=au+bv$、$y=cu+dv$

（２）$x=r \cosh t$、$y=r \sinh t$

（３）$x=u+v$、$y=uv$

（４）$x=uv$、$y=u^2-v^2$

解法の要点

ヤコビアン$\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}$は以下のような正方行列の行列式として与えられます。$$\begin{align} \dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} &= \det \left( \begin{array} & \dfrac{\partial x}{\partial u} &\dfrac{\partial x}{\partial v} \\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{array} \right) \\ &=\dfrac{\partial x}{\partial u}\dfrac{\partial y}{\partial v} – \dfrac{\partial x}{\partial v}\dfrac{\partial y}{\partial u} \tag*{･･･ (★)} \end{align}$$実際には$(★)$式を計算すればOKです。

解答例

（１）

$$\begin{align} \dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}
&= \det \left( \begin{array} & a & b \\ c & d \end{array} \right) \\
&=ad-bc \end{align}$$

（２）

$$\begin{align} \dfrac{\partial (x,y)}{\partial (r,t)}
&= \det \left( \begin{array} & \cosh t & r\sinh t \\ \sinh t & r\cosh t \end{array} \right) \\ &=r(\cosh^2 t-\sinh^2 t) \\ &=r \end{align}$$

（３）

$$\begin{align} \dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}
&= \det \left( \begin{array} & 1 & 1 \\ v & u \end{array} \right) \\
&=u-v \end{align}$$

（４）

$$\begin{align} \dfrac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}
&= \det \left( \begin{array} & \ v & \ \ u \\ 2u & -2v \end{array} \right) \\
&=v(-2v)-u\cdot 2u \\ &=-2(u^2+v^2) \end{align}$$

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