培風館『入門微分積分』第4章・問題4.3.1の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題4.3.1
（１）$\left(2\dfrac{\partial}{\partial x}+3\dfrac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x,y)$を$f_{xx}$、$f_{xy}$、$f_{yy}$を用いて表せ。
（２）$f(x,y)=e^{2x+y}$のとき、$\left(2\dfrac{\partial}{\partial x}+3\dfrac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0,0)$を求めよ
解法の要点
解答例
$$\begin{align}&\ \ \ \ \left(2\dfrac{\partial}{\partial x}+3\dfrac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(x,y) \\ &=\left(4\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+12\dfrac{\partial^2}{\partial x \partial y}+9\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}\right)f(x,y) \\ &=4f_{xx} +12f_{xy}+9f_{yy} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（２）
$f(x,y)=e^{2x+y}$のとき、$f_{xx}$、$f_{xy}$、$f_{yy}$ はそれぞれ$$f_{xx}=4e^{2x+y}$$ $$f_{xy}=2e^{2x+y}$$ $$f_{yy}=e^{2x+y}$$となるから、$$\begin{align}&\ \ \ \ \left(2\dfrac{\partial}{\partial x}+3\dfrac{\partial}{\partial y}\right)^2 f(0,0) \\ &=4 \cdot 4 +12 \cdot 2 +9 \cdot 1 \\ &=49 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と求められる。