培風館『入門微分積分』第4章・問題4.3.2の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題4.3.2
次の関数の２次の偏導関数をすべて求めよ。
（１）$z=x^3 y+xy^2$
（２）$z=x \sin xy$
（３）$z=e^{x^2y}$
（４）$z=\tan^{-1}xy$
解法の要点
単なる偏微分の計算練習です。以下の解答例では $z_{xy}=z_{yx}$ を自明としていますが、これは試験の答案でも特に断る必要はないと思います。
解答例
（１）$z=x^3 y+xy^2$
$z_x=3x^2y+y^2$、$z_y=x^3+2xy$ より、$$z_{xx}=6xy$$ $$z_{xy}=3x^2+2y$$ $$z_{yy}=2x$$と求められる。
（２）$z=x \sin xy$
$z_x=\sin xy+xy\cos xy$、$z_y=x^2 \cos xy$ より、$$z_{xx}=2y\cos xy-xy^2\sin xy$$ $$z_{xy}=2x\cos xy-x^2 y\sin xy$$ $$z_{yy}=-x^3 \sin xy$$と求められる。
（３）$z=e^{x^2y}$
$z_x=2xe^{x^2y}$、$z_y=x^2e^{x^2y}$ より、$$z_{xx}=(4x^2y^2+2y)e^{x^2y}$$ $$z_{xy}=(2x^3y+2x)e^{x^2y}$$ $$z_{yy}=x^4e^{x^2y}$$と求められる。
（４）$z=\tan^{-1}xy$
$z_x=\dfrac{y}{1+(xy)^2}$、$z_y=\dfrac{x}{1+(xy)^2}$ より、$$z_{xx}=-\dfrac{2xy^3}{(1+x^2y^2)^2}$$ $$z_{xy}=\dfrac{1-x^2y^2}{(1+x^2y^2)^2}$$ $$z_{yy}=-\dfrac{2x^3y}{(1+x^2y^2)^2}$$と求められる。