培風館『入門微分積分』第4章・問題4.4.1の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題4.4.1
${f_x}^2+{f_y}^2 \ne 0$ のとき、$f(x,y)=0$ 上の点$(a,b)$における接線は$$f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)=0$$と書けることを示せ。
解法の要点
陰関数の定理を利用します。
解答例
${f_x}^2+{f_y}^2 \ne 0$ より、${f_x}$、${f_y}$のうち、少なくともいずれか一方は$0$でないので ${f_x}(a,b) \ne 0$ と仮定してよい。このとき陰関数の定理より、点$(a,b)$の近傍で $f(x,y)=0$ の陰関数 $x=\varphi(y)$ が存在する。これは微分可能なので$$\varphi^{\prime}(b)=-\dfrac{f_y(a,b)}{f_x(a,b)}\tag{1}$$が成り立つ（※$y$の関数であることに注意）。
$f(x,y)=0$ 上の点$(a,b)$における接線は$$x-a=\varphi^{\prime}(b)(y-b)$$と表せるから、$(1)$式を代入して、$$x-a=-\dfrac{f_y(a,b)}{f_x(a,b)}(y-b)$$ $$\therefore f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)=0$$を得る。
また、${f_y}(a,b) \ne 0$ の場合は陰関数の定理より、点$(a,b)$の近傍で $f(x,y)=0$ の陰関数 $y=\varphi(x)$ が存在するので、同様に考えればよい。
以上より示された。
この問題には復習例題を設定していません。