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問題4.4.1

${f_x}^2+{f_y}^2\ne 0$ のとき、$f(x,y)=0$ 上の点$(a,b)$における接線は$$f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)=0$$と書けることを示せ。

 

《ポイント》

陰関数の定理を利用します。

 

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《解答例》

${f_x}^2+{f_y}^2\ne 0$ より、$f_x$、$f_y$のうち、少なくともいずれか一方は$0$でないので $f_x(a,b)\ne 0$ と仮定してよい。このとき陰関数の定理より、点$(a,b)$の近傍で $f(x,y)=0$ の陰関数 $x=\phi (y)$ が存在する。これは微分可能なので$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\phi }^{\prime }(b)=-{\displaystyle \frac{f_y(a,b)}{f_x(a,b)}}\end{array}$$が成り立つ（※$y$の関数であることに注意）。

$f(x,y)=0$ 上の点$(a,b)$における接線は$$x-a={\phi }^{\prime }(b)(y-b)$$と表せるから、$(1)$式を代入して、$$x-a=-{\displaystyle \frac{f_y(a,b)}{f_x(a,b)}}(y-b)$$ $$\therefore f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)=0$$を得る。

また、$f_y(a,b)\ne 0$ の場合は陰関数の定理より、点$(a,b)$の近傍で $f(x,y)=0$ の陰関数 $y=\phi (x)$ が存在するので、同様に考えればよい。

以上より示された。

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この問題には復習例題を設定していません。

 

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