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問題4.4.3

次の方程式で与えられる曲線の、与えられた点における接線と法線の方程式を求めよ。

（１）$3x^2-x{y}^3+2xy+y-x=0$　$\mathrm{P}(1,2)$

（２）$x{e}^{2y}-e^{xy}+\sin \pi xy+y$　$\mathrm{P}(0,1)$

 

《ポイント》

$f(x,y)=0$ 上の点$(a,b)$における接線は陰関数 $y=\phi (x)$ により$$y-b={\phi }^{\prime }(a)(x-a)$$と表せます。また、法線は$$y-b=-{\displaystyle \frac{1}{{\phi }^{\prime }(a)}}(x-a)$$と表せます。

 

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《解答例》

（１）$3x^2-x{y}^3+2xy+y-x=0$　$\mathrm{P}(1,2)$

$f_x=6x-y^3+2y-1$、$f_y=2x-3x{y}^2+1$ より、$$f_x(1,2)=1,f_y(1,2)=-9$$となるから陰関数の定理より、点$\mathrm{P}(1,2)$の近傍で $f(x,y)=0$ の陰関数 $y=\phi (x)$ が存在し、$${\phi }^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{6x-y^3+2y-1}{2x-3x{y}^2+1}}$$となる。

$\phi (1)={\displaystyle \frac{1}{9}}$ となるから点$\mathrm{P}$における接線の方程式は$$y-2={\displaystyle \frac{1}{9}}(x-1)$$ $$\therefore x-9y+17=0\cdots (\text{答})$$また、法線の方程式は$$y-2=-9(x-1)$$ $$\therefore 9x+y-11=0\cdots (\text{答})$$と求められる。

 

（２）$x{e}^{2y}-e^{xy}+\sin \pi xy+y$　$\mathrm{P}(0,1)$

$f_x=e^{2y}-y{e}^{xy}+\pi y\cos (\pi xy)$、$f_y=2x{e}^{2y}-x{e}^{xy}+\pi x\cos (\pi xy)+1$ より、$$f_x(0,1)=e^2-1+\pi ,f_y(0,1)=1$$となるから陰関数の定理より、点$\mathrm{P}(0,1)$の近傍で $f(x,y)=0$ の陰関数 $y=\phi (x)$ が存在し、$${\phi }^{\prime }(x)=-{\displaystyle \frac{e^{2y}-y{e}^{xy}+\pi y\cos (\pi xy)}{2x{e}^{2y}-x{e}^{xy}+\pi x\cos (\pi xy)+1}}$$となる。

${\phi }^{\prime }(x)(0)=-(e^2-1+\pi )$ となるから点$\mathrm{P}$における接線の方程式は$$y-1=-(e^2-1+\pi )(x-0)$$ $$(e^2-1+\pi )x-y-1=0\cdots (\text{答})$$また、法線の方程式は$$y-1={\displaystyle \frac{1}{e^2-1+\pi }}(x-0)$$ $$x-(e^2-1+\pi )(y-1)=0\cdots (\text{答})$$と求められる。

 

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復習例題は設定していません。

 

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