問題4.4.4
点$\mathrm{P}(1,\ 1)$の近傍で、次の方程式の陰関数として与えられる関数 $y=\varphi(x)$ について、$\varphi^{\prime}(1)$、$\varphi^{\prime \prime}(1)$を求めよ。
（１）$x^2-2xy^3+y^2=0$
（２）$x^3-3y^3+2x^2y=0$
《ポイント》
$x$に関する陰関数 $y=\varphi(x)$ の２階微分は$$\varphi^{\prime\prime}(x)=-\dfrac{f_{xx}{f_{y}}^2-2f_{xy}f_{x}f_{y}+f_{yy}{f_{x}}^2}{{f_{y}}^3}$$と表せます。
《解答例》
（１）$x^2-2xy^3+y^2=0$
$f_x=2x-2y^3$、$f_y=-6xy^2+2y$ より、$$f_x(1,1)=0,\ f_y(1,1)=-4\ (\ne 0)$$となるから陰関数の定理より、点$\mathrm{P}(1,1)$の近傍で $f(x,y)=0$ の陰関数$y= \varphi(x)$ が存在し、$$\begin{align} \varphi^{\prime}(x) &=-\dfrac{2x-2y^3}{-6xy^2+2y} \\ &=\dfrac{x-y^3}{3xy^2-y} \end{align}$$となる。よって$$\varphi^{\prime}(1)=0 \ \cdots (\text{答}) $$であり、$f_{xx}(x,y)=2$、$f_{xy}(x,y)=-6y^2$、$f_{yy}(x,y)=2$ より、$f_{xx}(1,1)=2$、$f_{xy}(1,1)=-6$、$f_{yy}(1,1)=2$ となるから$$\begin{align} \varphi^{\prime\prime}(1) &=-\dfrac{f_{xx}{f_{y}}^2-2f_{xy}f_{x}f_{y}+f_{yy}{f_{x}}^2}{{f_{y}}^3} \\ &=-\dfrac{2 \cdot (-4)^2-2 \cdot (-6) \cdot 0 \cdot (-4)+2 \cdot 0^2}{(-4)^3} \\ &=\dfrac{1}{2} \ \cdots (\text{答}) \end{align}$$
（２）$x^3-3y^3+2x^2y=0$
$f_x=3x^2+4xy$、$f_y=2x^2-9y^2$ より、$$f_x(1,1)=7,\ f_y(1,1)=-7\ (\ne 0)$$となるから陰関数の定理より、点$\mathrm{P}(1,1)$の近傍で $f(x,y)=0$ の陰関数$y= \varphi(x)$ が存在し、$$\varphi^{\prime}(x)=-\dfrac{3x^2+4xy}{2x^2-9y^2}$$となる。よって$$\varphi^{\prime}(1)=1 \ \cdots (\text{答}) $$であり、$f_{xx}(x,y)=6x+4y$、$f_{xy}(x,y)=4x$、$f_{yy}(x,y)=-18y$ より、$f_{xx}(1,1)=10$、$f_{xy}(1,1)=4$、$f_{yy}(1,1)=-18$ となるから$$\begin{align} \varphi^{\prime\prime}(1) &=-\dfrac{f_{xx}{f_{y}}^2-2f_{xy}f_{x}f_{y}+f_{yy}{f_{x}}^2}{{f_{y}}^3} \\ &=-\dfrac{10 \cdot (-7)^2-2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot (-7)+(-18) \cdot 7^2}{(-7)^3} \\ &=0 \ \cdots (\text{答}) \end{align}$$
復習例題は設定していません。