問題4.4.7a
次の関数$f(x,y)$の、$D=\{(x,y)\ |\ x^2+y^2 \le 1\}$における最大値、最小値を求めよ。（ヒント：円の内部における極値（2変数関数の極値）と円周上での極値（条件付き極値）を調べよ。）
（１）$f(x,y)=x^2+xy+y^2$
《ポイント》
ある有界閉集合$D$において関数$f$が連続であれば、$D$において$f$を最大・最小にする点が存在します。一般にはラグランジュの未定乗数法から求めた極大・極小値が最大・最小値に一致します。問題文では特に触れられていないので取っつきにくい問題ですが、これらの事実は既知として解答して差し支えないでしょう。解答の流れは基本的に問題文中のヒントに従います。
《解答例》
（１）$f(x,y)=x^2+xy+y^2$
$x^2+y^2 < 1$ のときを考える。
$f_{x}=2x+y$、$f_{y}=x+2y$ となるから、関数$f(x,y)$が極値をもつとしたら$$\begin{cases} 2x+y=0 \\ x+2y=0 \end{cases}$$の解である点$(x,y)$に限る。この連立方程式の解は $(x,y)=(0,0)$ であり、これは$D$内の点であるから、これが極値を与える点の候補となる。$f_{xx}=2$、$f_{xy}=1$、$f_{yy}=2$ となるので、判別式は$$\begin{align}&\ \ \ \ f_{xx}f_{yy}-{f_{xy}}^2 \\ &= 2 \cdot 2 – 1^2 \\ &=3>0 \end{align}$$となる。$D$が正なので点$(0,0)$において関数$f(x,y)$は極小値$0$をとる。
次に $x^2+y^2 = 1$ のときを考える。
$$f(x,y,\lambda)=x^2+xy+y^2-\lambda(x^2+y^2-1)$$と置くと$$\begin{cases} F_x=2x+y-2\lambda x=0 &\cdots ① \\ F_y=x+2y-2\lambda y=0 &\cdots ② \\ -F_{\lambda}=x^2+y^2-1=0 &\cdots ③ \end{cases}$$となる。$①+②$より$$3(x+y)-2\lambda(x+y)=0$$ $$\therefore (3-2\lambda)(x+y)=0$$ $$\therefore \lambda=\dfrac{3}{2} \ \ \ \text{or} \ \ \ y=-x$$を得る。$\lambda=\dfrac{3}{2}$ とすると$①$より $y=x$ となり、$③$より$$\therefore x=y=\pm \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$$を得る。$y=-x$ とすると$③$より$$\therefore x=\pm \dfrac{1}{2\sqrt{2}}, \ y=\mp \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$$を得る。故に極値をとるためには $(x,y)=\left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right),\ \left(\pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}, \mp \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ であることが必要である。点$\mathrm{P}_1\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$の近傍における陰関数 $y=\varphi_1(x)$ を$③$に代入して両辺を繰り返し微分すると、$$\begin{cases} 2x+2\varphi_1(x)\varphi_1^{\prime}(x)=0 &\cdots ④ \\ 2+2\{\varphi_1^{\prime}(x)\}^2+2\varphi_1(x)\varphi_1^{\prime\prime}(x)=0 &\cdots ⑤ \end{cases}$$となる。$④$、$⑤$より $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\ \left(\varphi_1\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$ とすると$$\varphi_1^{\prime}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-1、\varphi_1^{\prime\prime}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-2\sqrt{2}$$となる。$p(x)=x^2+x\varphi_1(x)+\{\varphi_1(x)\}^2$ と置くと、$$\begin{cases} p^{\prime}(x)=2x+\varphi_1(x)+x\varphi_1^{\prime}(x)+2\varphi_1(x)\varphi_1^{\prime}(x) \\ p^{\prime\prime}(x)=2+2\varphi_1^{\prime}+x\varphi_1^{\prime\prime}+2\{\varphi_1^{\prime}(x)\}^2+2\varphi_1(x)\varphi_1^{\prime\prime}(x) \end{cases}$$となるから、$$p^{\prime}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=0、p^{\prime\prime}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=-4<0$$となる。よって$p(x)$は $x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極大値$\dfrac{3}{2}$をとる。
点$\mathrm{P}_2\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$についても同様に調べると、$q(x)=f(x,\varphi_2(x))=x^2+x\varphi_2(x)+\{\varphi_2(x)\}^2$ は $x=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ で極大値$\dfrac{3}{2}$をとる。
同様にして調べると、点$\mathrm{P}_3\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$、点$\mathrm{P}_4\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$で極小値$\dfrac{1}{2}$をとることが分かる。
以上より、$f(x,y)=x^2+xy+y^2$ は範囲$D$において点$\left(\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}},\pm\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)$で最大値$\dfrac{3}{2}$、点$(0,0)$で最小値$0$をとる。
復習例題は設定していません。