培風館『入門微分積分』第5章・問題5.1.1の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題5.1.1
（１）$\displaystyle \int^{2}_{0}dx\int^{2x}_{x^2}xe^y \ dy$
（２）$\displaystyle \int^{1}_{0}dy\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}y\sin xy \ dx$
解法の要点
基本的には積分の順序は自由ですが、積分範囲が関数で定義されているときは先に積分しないと定数値が求められません。また、積分順序が自由に入れ替えられるときはなるべく計算が簡単になるように積分順序を考えましょう。
解答例
$\begin{align}&\ \ \ \ \displaystyle \int^{2}_{0}dx\int^{2x}_{x^2}xe^y \ dy \\ &=\displaystyle \int^{2}_{0}\big[xe^y\big]^{2x}_{x^2}\ dx \\ &=\displaystyle \int^{2}_{0}(xe^{2x}-xe^{x^2})\ dx \\ &=\left[\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}-\dfrac{1}{2}e^{x^2}\right]^{2}_{0} \\ &=\dfrac{1}{4}e^4+\dfrac{3}{4} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
※積分計算の途中で$$\displaystyle \int xe^{2x}\ dx=\dfrac{1}{2}xe^{2x}-\dfrac{1}{4}e^{2x}+C$$を用いています。
（２）$\displaystyle \int^{1}_{0}dy\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}y\sin xy \ dx$
$\begin{align}&\ \ \ \ \displaystyle \int^{1}_{0}dy\int^{\frac{\pi}{2}}_{0}y\sin xy \ dx \\ &=\displaystyle \int^{1}_{0}\big[-\cos xy \ \big]^{\frac{\pi}{2}}_{0}\ dx \\ &=\displaystyle \int^{1}_{0}\left(-\cos \dfrac{\pi}{2}y+1\right)\ dx \\ &=\left[-\dfrac{2}{\pi}\sin \dfrac{\pi}{2}y+y\right]^{1}_{0} \\ &=-\dfrac{2}{\pi}+1 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$