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問題5.2.3

空間の極座標を用いて、次の積分の値を計算せよ。

（１）${\displaystyle {\iiint }_{D}xdxdydz}$　$D:x^2+y^2+z^2\leqq a^2,0\leqq x,y,z$

（２）${\displaystyle {\iiint }_D(x^2+y^2+z^2)dxdydz}$　$D:x^2+y^2+z^2\leqq a^2$

 

《ポイント》

空間の極座標への変換におけるヤコビアンは$$\left|{\displaystyle \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\phi )}}\right|=r^2\sin \theta$$で与えられます。以下では $dxdydz=r^2\sin \theta drd\theta d\phi$ の関係を断りなく使用します。

 

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《解答例》

（１）${\displaystyle {\iiint }_{D}xdxdydz}$　$D:x^2+y^2+z^2\leqq a^2,0\leqq x,y,z$

空間の極座標表示 $x=r\sin \theta \cos \phi$、$y=r\sin \theta \sin \phi$、$z=r\cos \theta$ より、$dxdydz=r^2\sin \theta drd\theta d\phi$ が成り立つ。

$W=\{(r,\theta ,\phi )|0\leqq r\leqq a,0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}},0\leqq \phi \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\}$と置くと、

$\begin{array}{rl}& {\iiint }_{D}xdxdydz\\ & ={\iiint }_{W}r\sin \theta \cos \phi \cdot r^2\sin \theta drd\theta d\phi \\ & ={\int }_0^a{r}^{3}dr{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\theta d\theta {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\cos \phi d\phi \\ & ={\displaystyle \frac{a^4}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot 1\\ & ={\displaystyle \frac{\pi a^4}{16}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

 

（２）${\displaystyle {\iiint }_D(x^2+y^2+z^2)dxdydz}$　$D:x^2+y^2+z^2\leqq a^2$

空間の極座標表示 $x=r\sin \theta \cos \phi$、$y=r\sin \theta \sin \phi$、$z=r\cos \theta$ より、$dxdydz=r^2\sin \theta drd\theta d\phi$ が成り立つ。

$W=\{(r,\theta ,\phi )|0\leqq r\leqq a,0\leqq \theta \leqq \pi ,0\leqq \phi <2\pi \}$と置くと、

$\begin{array}{rl}& {\iiint }_D(x^2+y^2+z^2)dxdydz\\ & ={\iiint }_W(r^2{\sin }^2\theta {\cos }^2\phi +r^2{\sin }^2\theta {\sin }^2\phi +r^2{\cos }^2\theta )\cdot r^2\sin \theta drd\theta d\phi \\ & ={\iiint }_W{r}^4\sin \theta drd\theta d\phi \\ & ={\int }_0^a{r}^{4}dr{\int }_0^{\pi }\sin \theta d\theta {\int }_0^{2\pi }d\phi \\ & ={\displaystyle \frac{a^5}{5}}\cdot (1+1)\cdot 2\pi \\ & ={\displaystyle \frac{4\pi a^4}{5}}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

 

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復習例題は設定していません。

 

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