問題5.2.3
空間の極座標を用いて、次の積分の値を計算せよ。
（１）$\displaystyle \iiint_D x\ dxdydz$ $D:x^2+y^2+z^2 \leqq a^2,\ 0\leqq x,y,z$
（２）$\displaystyle \iiint_D (x^2+y^2+z^2)\ dxdydz$ $D:x^2+y^2+z^2 \leqq a^2$
《ポイント》
空間の極座標への変換におけるヤコビアンは$$\left|\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)}\right|=r^2\sin\theta$$で与えられます。以下では $dxdydz=r^2\sin\theta\ drd\theta d\varphi$ の関係を断りなく使用します。
《解答例》
（１）$\displaystyle \iiint_D x\ dxdydz$ $D:x^2+y^2+z^2 \leqq a^2,\ 0\leqq x,y,z$
空間の極座標表示 $x=r\sin \theta \cos \varphi$、$y=r\sin \theta \sin \varphi$、$z=r\cos \theta$ より、$dxdydz=r^2\sin\theta\ drd\theta d\varphi$ が成り立つ。
$W=\left\{(r,\theta,\varphi)|\ 0 \leqq r \leqq a ,\ 0 \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2} ,\ 0 \leqq \varphi \leqq \dfrac{\pi}{2} \right\}$と置くと、
$\begin{align}&\ \ \ \ \iiint_D x\ dxdydz \\ &= \iiint_W r\sin \theta \cos \varphi\cdot r^2\sin\theta\ drd\theta d\varphi \\ &=\int^{a}_{0} r^3 dr \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \sin^2 \theta\ d\theta \int^{\frac{\pi}{2}}_{0} \cos \varphi \ d\varphi \\ &=\dfrac{a^4}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2} \cdot 1 \\ &=\dfrac{\pi a^4}{16} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（２）$\displaystyle \iiint_D (x^2+y^2+z^2)\ dxdydz$ $D:x^2+y^2+z^2 \leqq a^2$
空間の極座標表示 $x=r\sin \theta \cos \varphi$、$y=r\sin \theta \sin \varphi$、$z=r\cos \theta$ より、$dxdydz=r^2\sin\theta\ drd\theta d\varphi$ が成り立つ。
$W=\left\{(r,\theta,\varphi)|\ 0 \leqq r \leqq a ,\ 0 \leqq \theta \leqq \pi ,\ 0 \leqq \varphi < 2\pi \right\}$と置くと、
$\begin{align}&\ \ \ \ \iiint_D (x^2+y^2+z^2)\ dxdydz \\ &= \iiint_W (r^2\sin^2 \theta \cos^2 \varphi+r^2\sin^2 \theta \sin^2 \varphi+r^2\cos^2 \theta)\cdot r^2\sin\theta\ drd\theta d\varphi \\ &= \iiint_W r^4\sin\theta\ drd\theta d\varphi \\ &=\int^{a}_{0} r^4 dr \int^{\pi}_{0} \sin \theta\ d\theta \int^{2\pi}_{0} d\varphi \\ &=\dfrac{a^5}{5} \cdot (1+1) \cdot 2\pi \\ &=\dfrac{4\pi a^4}{5} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
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