問題5.3.1
次の線積分の値を計算せよ。
（１）$\displaystyle \int_C x^2dx+2xy\ dy$ $C:(1,1)$から$(-1,3)$へ直線で結んだもの
（２）$\displaystyle \int_C xy\ dx+e^{x^2}dy$ $C:y=x^2$ 向き：$(0,0) \to (2,4)$
（３）$\displaystyle \int_C y^2dx+x^2dy$ $C:x=\cos t$、$y=\sin t$
《ポイント》
線積分は有向曲線をパラメータ表示するところから始めます。このとき曲線の向きのとり方には十分に注意して下さい。最初の段階で符号を誤ってしまうと正しく計算したところで答えの値と合うことはまずあり得ません。
《解答例》
（１）$\displaystyle \int_C x^2dx+2xy\ dy$ $C:(1,1)$から$(-1,3)$へ直線で結んだもの
有向曲線$C$は$$\begin{cases}x=-t \\ y=2+t\end{cases}\ (t:-1 \to 1)$$と表せるから、$dx=-dt$、$dy=dt$ であり、$$\begin{align} \displaystyle \int_C x^2dx&=-\int^{1}_{-1} t^2dt \\ &=-2\int^{1}_{0} t^2dt \\ &=-\left[\dfrac{2}{3}t^{3}\right]^{1}_{0} \\ &=-\dfrac{2}{3} \end{align}$$ $$\begin{align} \displaystyle \int_C 2xy\ dy&=\int^{1}_{-1} 2(-t)(2+t)\ dt \\ &=-2\int^{1}_{-1} (2t+t^2)\ dt \\ &=-4\int^{1}_{0} t^2\ dt \\ &=-4\left[\dfrac{1}{3}t^{3}\right]^{1}_{0} \\ &=-\dfrac{4}{3} \end{align}$$となる。故に$$\begin{align} \displaystyle \int_C x^2dx+2xy\ dy &=-\dfrac{2}{3}-\dfrac{4}{3} \\ &=-2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（２）$\displaystyle \int_C xy\ dx+e^{x^2}dy$ $C:y=x^2$ 向き：$(0,0) \to (2,4)$
有向曲線$C$は$$\begin{cases}x=t \\ y=t^2\end{cases}\ \ (t:0 \to 2)$$と表せるから、$dx=dt$、$dy=2tdt$ であり、$$\begin{align} \displaystyle \int_C xy\ dx&=\int^{2}_{0} t^3dt \\ &=\left[\dfrac{1}{4}t^{4}\right]^{2}_{0} \\ &=4 \end{align}$$ $$\begin{align} \displaystyle \int_C e^{x^2}dy&=\int^{2}_{0} 2te^{t^2}dt \\ &=\int^{2}_{0} (e^{t^2})^{\prime}\ dt \\ &=\left[e^{t^2}\right]^{2}_{0} \\ &=e^4-1 \end{align}$$となる。故に$$\begin{align} \displaystyle \int_C xy\ dx+e^{x^2}dy &=4+e^4-1 \\ &=e^4+3 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（３）$\displaystyle \int_C y^2dx+x^2dy$ $C:x=\cos t$、$y=\sin t$
有向曲線$C$は$$C:x=\cos t、y=\sin t$$で定義されるから、$dx=-\sin t\ dt$、$dy=\cos t\ dt$ であり、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle \int_C y^2dx+x^2dy \\ &=\int^{\pi}_{0} (-\sin^3 t +\cos^3 t)dt \\ &=\int^{\pi}_{0} (\cos t-\sin t)(\cos^2 t+\cos t\sin t+\sin^2 t)dt \\ &=\int^{\pi}_{0} (\cos t-\sin t)(1+\cos t\sin t)dt \\ &=\int^{\pi}_{0} (\cos t-\sin t+\cos^2 t\sin t-\cos t\sin^2 t )dt \\ &=\left[\sin t+\cos t-\dfrac{1}{3}\cos^3 t-\dfrac{1}{3}\sin^3 t\right]^{\pi}_{0} \\ &=-2+\dfrac{2}{3} \\ &=-\dfrac{4}{3} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$となる。
復習例題は設定していません。