問題5.4.1b
次の図形の体積を求めよ（$a,b,c>0$）。
（２）$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}} \leqq a^{\frac{2}{3}}$
《ポイント》
空間内の図形$V$の体積$v(V)$は$$v(V)=\iiint_{V}dxdydz$$で与えられます。まずは空間内の図形を不等式で正しく定義する必要があります。図形の形によっては空間の極座標を利用した方が良いこともありますので、苦手な人はよく練習しておきましょう。
《解答例》
（２）$x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}} \leqq a^{\frac{2}{3}}$
$$V=\left\{(x,y,z)\ \middle|\ x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}+z^{\frac{2}{3}} \leqq a^{\frac{2}{3}} \right\}$$と置く。$u=x^{\frac{1}{3}}$、$v=y^{\frac{1}{3}}$、$w=z^{\frac{1}{3}}$ と置換すると、$V$は$$V^{\prime}=\{(u,v,w)|\ u^2+v^2+w^2 \leqq a^{\frac{2}{3}}\}$$に変換され、ヤコビアンは$$\begin{align}\left|\dfrac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}\right|&=\left|\det\left(\begin{array} & 3u & \ 0 & \ 0 \\ \ 0 & 3v & \ 0 \\ \ 0 & \ 0 & 3w \end{array}\right)\right|\\ &=27u^2 v^2 w^2 \end{align}$$と求められる。よって求める図形$V$の体積$v(V)$は$$\begin{align}v(V)&=\iiint_{V}dxdydz \\ &=27\iiint_{V^{\prime}}u^2 v^2 w^2 dudvdw \end{align}$$となる。ここで
$W=\left\{(r,\theta,\varphi)|\ 0 \leqq r \leqq a^{\frac{1}{3}} ,\ 0 \leqq \theta \leqq \pi ,\ 0 \leqq \varphi < 2\pi \right\}$で定義される空間の極座標系を利用し、$u=r\sin \theta \cos \varphi$、$v=r\sin \theta \sin \varphi$、$w=r\cos \theta$ と置換すると、ヤコビアンは$$\left|\dfrac{\partial(u,v,w)}{\partial(r,\theta,\varphi)}\right|=r^2\sin\theta$$と求められるので、$dudvdw=r^2\sin\theta\ drd\theta d\varphi$ が成り立つ。よって、
$$\begin{align}&\ \ \ \ 27\iiint_{V^{\prime}}u^2 v^2 w^2 dudvdw \\ &= 27\iiint_W (r\sin \theta \cos \varphi)^2 (r\sin \theta \sin \varphi)^2 (r\cos \theta)^2 r^2\sin\theta\ drd\theta d\varphi \\ &=27\int^{a^{\frac{1}{3}}}_{0} r^8 dr \int^{\pi}_{0} \sin^5 \theta \cos^2 \theta\ d\theta \int^{2\pi}_{0} \sin^2 \varphi \cos^2 \varphi \ d\varphi \\ &=27 \cdot \dfrac{a^3}{9} \cdot \dfrac{16}{105} \cdot \dfrac{\pi}{4} \\ &=\dfrac{4}{35}\pi a^3 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と求められる。
※積分計算の途中で以下の過程を省略しています。$$\begin{align}\int^{\pi}_{0} \sin^5 \theta \cos^2 \theta\ d\theta &= \int^{\pi}_{0} \sin^5 \theta (1-\sin^2 \theta)\ d\theta \\ &= \int^{\pi}_{0} (\sin^5 \theta – \sin^7 \theta)\ d\theta \\ &= 2\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} (\sin^5 \theta – \sin^7 \theta)\ d\theta \\ &= 2\left(\dfrac{4 \cdot 2}{5 \cdot 3}-\dfrac{6 \cdot 4 \cdot 2}{7 \cdot 5 \cdot 3}\right) \\ &=\dfrac{16}{105} \end{align}$$ $$\begin{align}\int^{2\pi}_{0} \sin^2 \varphi \cos^2 \varphi \ d\varphi &= \int^{2\pi}_{0} \sin^2 \varphi (1-\sin^2 \varphi)\ d\varphi \\ &= \int^{2\pi}_{0} (\sin^2 \varphi -\sin^4 \varphi) \ d\varphi \\ &= 4\int^{\frac{\pi}{2}}_{0} (\sin^2 \varphi -\sin^4 \varphi)\ d\varphi \\ &= 4\left(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{2}-\dfrac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \dfrac{\pi}{2}\right) \\ &=\dfrac{\pi}{4} \end{align}$$
※最初の置換は $x=u^3$、$y=v^3$、$z=w^3$ と同じことです。ヤコビアンを計算するときは係数に注意しましょう。
※本問の立体図形$V$はアステロイドを立体化したような図形です。これを空間の極座標表示が利用できる形に変換するために $u=x^{\frac{1}{3}}$、$v=y^{\frac{1}{3}}$、$w=z^{\frac{1}{3}}$ と置換しています。
復習例題は設定していません。