問題5.5.4
定理5.5.4を用いて、次の積分の値を求めよ。
（１）$\displaystyle \int^{\infty}_0 \dfrac{dx}{1+x^3}$
（２）$\displaystyle \int^{\infty}_0 \dfrac{dx}{1+x^4}$
（３）$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{\tan\theta}\ d\theta$
（４）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{dx}{\sqrt[4]{1-x^4}}$
《ポイント》
教科書の定理5.5.4$$\varGamma\left(\dfrac{s}{2}\right)\varGamma\left(\dfrac{s+1}{2}\right)=2^{1-s}\sqrt{\pi}\varGamma(s)$$および、$$\varGamma\left(s\right)\varGamma\left(1-s\right)=\dfrac{\pi}{\sin(\pi s)}$$を利用します。
なお、（１）と（２）は教科書の例題5.5.2の結果を利用します。即ち、
$\displaystyle \int^{\infty}_0 \dfrac{x^{b-1}}{1+x^a}=\dfrac{1}{a}\varGamma\left(1-\dfrac{b}{a}\right)\varGamma\left(\dfrac{b}{a}\right)$（$a>b>0$）
の関係を公式として使います。これは $t=\dfrac{1}{1+x^a}$ と置くことによって得られます。
《解答例》
（１）$\displaystyle \int^{\infty}_0 \dfrac{dx}{1+x^3}$
例題5.5.2の結果において $a=3$、$b=1$ とすると、
$$\begin{align} \displaystyle \int^{\infty}_0 \dfrac{dx}{1+x^3}
&=\dfrac{1}{3}\varGamma\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\varGamma\left(\dfrac{1}{3}\right) \\
&=\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{\pi}{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)} \\
&=\dfrac{2\sqrt{3}}{9}\pi \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（２）$\displaystyle \int^{\infty}_0 \dfrac{dx}{1+x^4}$
例題5.5.2の結果において $a=4$、$b=1$ とすると、
$$\begin{align} \displaystyle \int^{\infty}_0 \dfrac{dx}{1+x^3}
&=\dfrac{1}{4}\varGamma\left(1-\dfrac{1}{4}\right)\varGamma\left(\dfrac{1}{4}\right) \\
&=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\pi}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\pi \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（３）$\displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{\tan\theta}\ d\theta$
$t=\tan\theta$ と置くと $t:0 \to \infty$、$d\theta=\dfrac{dt}{1+t^2}$ となるから、$$\begin{align} \displaystyle \int^{\frac{\pi}{2}}_0 \sqrt{\tan\theta}\ d\theta
&=\int^{\infty}_0 \dfrac{\sqrt{t}}{1+t^2}dt \end{align}$$
ここで $u=\dfrac{1}{1+t^2}$ と置くと $u:0 \to 1$、$dt=-\dfrac{du}{2u\sqrt{u}\sqrt{1-u}}$ となるから、$$\begin{align} \displaystyle \int^{\infty}_0 \dfrac{\sqrt{t}}{1+t^2}dt
&=\int^{0}_1 u\left(\dfrac{1-u}{u}\right)^{\frac{1}{4}}\left(-\dfrac{du}{2u\sqrt{u}\sqrt{1-u}}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\int^{1}_0 u^{-\frac{3}{4}}(1-u)^{-\frac{1}{4}}du \\
&=\dfrac{1}{2}B\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\varGamma\left(\dfrac{1}{4}\right)\varGamma\left(\dfrac{3}{4}\right)}{\varGamma(1)} \\
&=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\pi \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
（４）$\displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{dx}{\sqrt[4]{1-x^4}}$
$t=x^4$ と置くと $t:0 \to 1$、$dx=\dfrac{dt}{4t^{\frac{3}{4}}}$ となるから、$$\begin{align} \displaystyle \int^{1}_0 \dfrac{dx}{\sqrt[4]{1-x^4}}
&=\int^{0}_1 \dfrac{1}{(1-t)^{\frac{1}{4}}}\cdot \dfrac{dt}{4t^{\frac{3}{4}}} \\
&=\dfrac{1}{4}\int^{1}_0 t^{-\frac{3}{4}}(1-t)^{-\frac{1}{4}}dt \\
&=\dfrac{1}{4}B\left(\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{4}\right) \\
&=\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{\varGamma\left(\dfrac{1}{4}\right)\varGamma\left(\dfrac{3}{4}\right)}{\varGamma(1)} \\
&=\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{\pi}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)} \\
&=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\pi \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$
復習例題は設定していません。