問題1.1.5a
（１）$\sqrt{2}$は有理数でないことを示せ。
（２）$0.999999\cdots=1$であることを示せ。
《ポイント》
（１）では背理法を用いるのが簡単です。$\sqrt{2}$が有理数であると仮定して矛盾を導きます。
また（２）は表記法の問題であって、極限の定義そのものを示せばよいだけです。
《解答例》
（１）
$\sqrt{2}$が有理数であると仮定すると、互いに素な２つの自然数$p、q$を用いて$\sqrt{2}=\dfrac{p}{q}$と表すことができる。両辺に$q$を乗じ、両辺正なので２乗すると$$2q^2=p^2$$となる。左辺は$2$の倍数だから右辺も$2$の倍数でなければならない。よって$p=2r \ (r \in \mathbb{N})$と置けて、これを代入すると$$q^2=2r^2$$となり、同様に$q$も$2$の倍数であることが必要となる。しかし$p、q$がともに偶数となることは$p、q$が互いに素な自然数であることに矛盾する。
したがって$\sqrt{2}$は有理数でない。故に$\sqrt{2}$は無理数である。
（２）
数列$\{a_n\}$を$a_n=1-\dfrac{1}{10^n}$と定めると$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=0.999999\cdots$である。
また、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{10^n}=0$であるから、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n=1$である。
故に$0.999999\cdots=1$である。
《別解》
$a=0.999999\cdots$と置くと、
$\begin{align} 10a &= 9.999999\cdots \\ -) \ a & = 0.999999\cdots \\ \hline \\ 9a &= 9 \end{align}$
$$\therefore a = 1 $$
故に$0.999999\cdots=1$である。
復習例題1.1.5a
$\sqrt{2}+\sqrt{3}$ は有理数でないことを示せ。