復習例題1.1.1
次の数列$\{ a_n \}$の極限を求めよ。
（１）$a_n=\left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) ^n$
（２）$a_n=n \left( \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+2}} \right)$
《ポイント》
同様の手法で解答できます。
（１）は自然対数の底（ネイピア数）の定義を使えるように変形します。
（２）はまず有理化で不定形を解消します。
《（１）解答例 》
$$a_n=\left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) ^n = \left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) ^{n^2 \cdot \frac{1}{n}}= \left( \left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) ^{n^2} \right) ^{\frac{1}{n}}$$となる。
$n \to \infty$のとき、$n^2 \to \infty$である。$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) ^{n^2} \to e$ かつ $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n} \to 0$であるから、
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}{a_n}=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \left( 1+\dfrac{1}{n^2} \right) ^{n^2} \right) ^{\frac{1}{n}} = e^{0} = 1 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$
《（２）解答例 》
$\begin{align} a_n &=n \left( \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+2}} \right) \\ & \\ &=n \cdot \dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}} \\ & \\ &=n \cdot \dfrac{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}} \cdot \dfrac{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} \\ & \\ &=n \cdot \dfrac{(n+2)-(n+1)}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}} \\ & \\ &=\dfrac{n}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}} \\ & \\ &=\dfrac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}}\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{n+1}\sqrt{n+2}} \\ & \\ & \to \dfrac{1}{\sqrt{1+0}\sqrt{1+0}} \cdot 0 \ \ (n \to \infty) \\ & \\ &= 0 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}\end{align}$