復習例題1.1.2b
次の数列$\{ a_n \}$は有界で単調増加であることを示し、極限を求めよ。
（２）$a_1=1、a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+3}$
《ポイント》
問題（２）と同じく逆数をとる方法が使えない分数型の漸化式です。
《解答例》
$$a_{n+1}=\dfrac{3a_n+2}{a_n+3}=3-\dfrac{7}{a_n+3}$$と変形できるから、$a_{n+1}<3$である。また、漸化式の形から$a_{n+1}>0$であるから、$0<a_{n+1}<3$ が言える。$0<a_1=1<3$より、帰納的にすべての自然数$n$について$0<a_n<3$が成立する。故に数列$\{a_n\}$は有界である。
また、$$ \ \ \ \ \begin{align} a_{n+1}-a_n &= \dfrac{3a_n+2}{a_n+3}-\dfrac{3a_{n-1}+2}{a_{n-1}+3} \\ &= \dfrac{7}{(a_n+3)(a_{n-1}+3)}(a_n-a_{n-1}) \end{align}$$
となる。$a_2-a_1=\dfrac{5}{4}-1=\dfrac{1}{4}>0$であるから、帰納的に$a_n-a_{n-1}>0$ が言える。
故に数列$\{a_n\}$は単調増加である。
以上より、数列$\{a_n\}$は有界な単調増加数列であるから収束する。
数列$\{a_n\}$の極限値を$\alpha$として $\alpha=\dfrac{3\alpha+2}{\alpha+3}$ を解くと、$\alpha=\pm\sqrt{2}$を得るが、$a_{n}>0$より$\alpha>0$であるから、極限値は
$$\sqrt{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$
と求められる。