復習例題1.2.1
次の関数の極限を求めよ。
（１）$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( 1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}} \right)^x$
（２）$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\cdots}}}}{x}$
（３）$\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}$
《ポイント》
基本的な考え方は前頁と同じです。どのように既知の公式と結びつけるかがポイントです。
《解答例》
（１）
$\begin{align} \left( 1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}} \right)^x &= \left( 1+\frac{1}{x} \right)^x \left( 1-\frac{4}{x^{2}}\right)^x \\ & \stackrel{(x \to \infty)}{\to} e \cdot e^{-4} \\ &=e^{-3} \end{align}$
より、
$\therefore \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( 1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}} \right)^x=e^{-3} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$
（２）
$\begin{align} \dfrac{\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\cdots}}}}{x} &= \sqrt{\dfrac{x^2-\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\cdots}}}{x^2}} \\ &=\sqrt{1-\sqrt{\dfrac{x^2-\sqrt{x^2-\cdots}}{x^4}}} \\ & \stackrel{(x \to \infty)}{\to} \sqrt{1-0} \\ &= 1 \end{align}$
である。
$\therefore \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\cdots}}}}{x}=1 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$
（３）
$\begin{align} \frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2} &= \left( \frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-{\frac{x}{2}}}}{x} \right)^2 \\ &= \left( \frac{e^{\frac{x}{2}}-1-(e^{-{\frac{x}{2}}}-1)}{x} \right)^2 \\ &= {\frac{1}{4}} \cdot \left( \frac{e^{\frac{x}{2}}-1}{{\dfrac{x}{2}}}+\frac{e^{-{\frac{x}{2}}}-1}{-{\dfrac{x}{2}}} \right)^2 \\ & \stackrel{(x \to 0)}{\to} {\frac{1}{4}} \cdot (1+1)^2 \\ &= 1 \end{align}$
である。
$\therefore \displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}=1 \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$
※途中で自然対数の底の定義式 $\displaystyle \lim_{t\to 0} \frac{e^t-1}{t}=1$ を用いた。
《コメント》
この程度の問題であれば大学入試問題よりも簡単ですね。