復習例題1.2.1

次の関数の極限を求めよ。

（１）${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}^x}$

（２）${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\cdots }}}}{x}}}$

（３）${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}}$

 

《ポイント》

基本的な考え方は前頁と同じです。どのように既知の公式と結びつけるかがポイントです。

 

---

 

《解答例》

（１）

$\begin{array}{rl}{(1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}^x& ={(1+\frac{1}{x})}^x{(1-\frac{4}{x^2})}^x\\ & \stackrel{(x\to \mathrm{\infty })}{\to }e\cdot e^{-4}\\ & =e^{-3}\end{array}$

より、

$\therefore {\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^2})}^x=e^{-3}\cdots \cdots \text{(答)}}$

 

（２）

$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\cdots }}}}{x}}& =\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\cdots }}}{x^2}}}\\ & =\sqrt{1-\sqrt{{\displaystyle \frac{x^2-\sqrt{x^2-\cdots }}{x^4}}}}\\ & \stackrel{(x\to \mathrm{\infty })}{\to }\sqrt{1-0}\\ & =1\end{array}$

である。

$\therefore {\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-\cdots }}}}{x}}=1\cdots \cdots \text{(答)}}$

 

（３）

$\begin{array}{rl}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}& ={\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}-e^{-\frac{x}{2}}}{x}\right)}^2\\ & ={\left(\frac{e^{\frac{x}{2}}-1-(e^{-\frac{x}{2}}-1)}{x}\right)}^2\\ & =\frac{1}{4}\cdot {(\frac{e^{\frac{x}{2}}-1}{{\displaystyle \frac{x}{2}}}+\frac{e^{-\frac{x}{2}}-1}{-{\displaystyle \frac{x}{2}}})}^2\\ & \stackrel{(x\to 0)}{\to }\frac{1}{4}\cdot (1+1{)}^2\\ & =1\end{array}$

である。

$\therefore {\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{e^x+e^{-x}-2}{x^2}=1\cdots \cdots \text{(答)}}$

※途中で自然対数の底の定義式　${\displaystyle \underset{t\to 0}{lim}\frac{e^t-1}{t}=1}$　を用いた。

 

---

 

《コメント》

この程度の問題であれば大学入試問題よりも簡単ですね。

 

---

問題に戻る