微積1.2.3

問題1.2.3

前に戻る トップへ戻る 次の問題へ


次の関数は (,) で連続であることを示せ。

(1)cosx

(2)cos(x31+x2)

(3)tan(π4sinx)

 

《ポイント》

合成関数の連続性から片付けるのが良いでしょう。(1)は教科書の例題に倣って示します。

 


 

《解答例》

(1)

aを任意の実数とする。(和積公式から、)|cosxcosa|=|2sinx+a2sinxa2|であり、|sinx+a2|1|sinxa2||xa2|より、|cosxcosa|21|xa|2=|xa|となる。実数の連続性よりlimxa|xa|=0であるから、はさみうちの原理から左辺も0に収束する。故にlimxa|cosxcosa|=0が成立するからcosx(,)で連続である。

 

(2)

(1)よりcosx(,)で連続である。またx3および1+x2(,)で連続であるから、その商x31+x2(,)で連続である。以上より、合成関数 cos(x31+x2)(,)で連続である。

 

(3)(※ここではsinxの連続性は前提とします)

π4|sinx|π4であるから、tanπ4=1tan(π4sinx)tanπ4=1
である。sinxcosx(,)で連続であるから、その商tanx(,)で連続である。
以上より、合成関数tan(π4sinx)(,)で連続である。

 


 

《コメント》

合成関数の連続性は重要な考え方です。

 


 

復習例題1.2.3

次の関数は(,)で連続かどうか答えよ。

(1)sinxx2+1

(2)cossinxx

 

>>解答・解説


前に戻る トップへ戻る 次の問題へ