問題1.2.4
関数$f(x)$が区間$I$で連続であるならば、$|f(x)|$も区間$I$で連続であることを示せ。
《ポイント》
こうした連続性の議論では「絶対値を見たら三角不等式」という発想で不等式を作り、はさみうちの原理を使えるようにするのが定石です。
《解答例》
$a$を任意の実数とする。$f(x)$は任意の実数$x$について実数値をとるから、不等式$$||f(x)|-|f(a)|| \leqq |f(x)-f(a)|$$が成立し、仮定より$f(x)$は区間$I$で連続であるから、$$\displaystyle \lim_{x \to a} |f(x)-f(a)|=0$$である。よってはさみうちの原理から$$\displaystyle \lim_{x \to a} ||f(x)|-|f(a)||=0$$が成立するから$|f(x)|$も区間$I$で連続である。
《コメント》
本問のように単純な関数でなくても、はさみうちの原理が使えるように式変形すればＯＫです。
この問題に復習例題は設定していません。