復習例題1.2.5
$\sin (\cos x)$は区間$(0,\pi)$に解を持つことを示せ。
《ポイント》
中間値の定理を利用するだけです。
《解答例》
$\sin x$、$\cos x$は連続関数であるから合成関数$\sin (\cos x)$も連続である。
$f(x)=\sin (\cos x)$と置くと、$f(0)=\sin 1>0$、$f(\pi)=\sin (-1)<0$となる。故に中間値の定理より$f(x)=0$は区間$(0,\pi)$において少なくとも１つの解を持つ。
《コメント》
微分すると分かりますが、$f(x)=\sin (\cos x)$は区間$(0,\pi)$では単調減少なので、$(0,\pi)$においてただ一つの解を持ちます。実は$x=\dfrac{\pi}{2}$がそのただ一つの解なので、このことを言えば中間値の定理を持ち出すまでもありません。