復習例題1.3.1

次の値を求めよ。

（１）$\cos ({\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$

（２）${\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}$

（３）${\sin }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\sin }^{-1}(-{\displaystyle \frac{1}{2}})$

 

《ポイント》

やることは角度に置き直すことだけです。慣れてくれば暗算でできるようになります。

 

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《解答例》

（１）

${\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\theta$と置くと、$\theta$は$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たす角であるから、$\cos ({\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$

$$\cos ({\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\cdots \cdots (\text{答})$$

を得る。

 

（２）

${\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}=\theta$と置き、$\cos \theta ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$を満たす$\theta$を$0\leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めると、

$$\theta ={\displaystyle \frac{1}{6}}\pi$$

を得る。次に${\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}=\varphi$と置き、$\cos \varphi ={\displaystyle \frac{1}{2}}$を満たす$\varphi$を$0\leqq \varphi \leqq \pi$の範囲で求めると、

$$\varphi ={\displaystyle \frac{1}{3}}\pi$$

を得る。したがって、

$${\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}+{\cos }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{6}}\pi +{\displaystyle \frac{1}{3}}\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdots \cdots (\text{答})$$

である。

 

（３）

${\sin }^{-1}x$が奇関数であることに注意すると、

$$\begin{array}{rl}{\sin }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\sin }^{-1}(-{\displaystyle \frac{1}{2}})& ={\sin }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\sin }^{-1}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ & =0\cdots \cdots (\text{答})\end{array}$$

 

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《コメント》

（３）では${\sin }^{-1}x$が奇関数であることを利用していますが、実際に角度を文字で置いて処理しても構いません。${\sin }^{-1}x$が奇関数であることは$\sin x$が奇関数であることから示せます。これを知っていれば$${\sin }^{-1}x+{\sin }^{-1}(-x)=0$$ や $${\tan }^{-1}x+{\tan }^{-1}(-x)=0$$ がすぐに分かります。

では${\cos }^{-1}$は？と思うのは自然な流れでしょう。${\cos }^{-1}x$は$x={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$に関して対称なので、$${\cos }^{-1}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}+\alpha )+{\cos }^{-1}({\displaystyle \frac{\pi }{2}}-\alpha )=0$$となります。つまり${\cos }^{-1}A+{\cos }^{-1}B$について$A+B$が$\pi$となる形なら$0$になります。

もちろん、これらの事実は公式として覚える必要はありません。

（２）についても、ただの直角三角形じゃん！というのが分かれば計算するまでもないのですが･･･。

 

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