微積2.1.1b 前に戻る トップへ戻る 次の問題へ 問題2.1.1b 次の関数の導関数を求めよ。 (10)etan−1x (11)xa2−x2+a2sin−1xa (12)sin−1x1+x2 (13)2cos−1x+12 (14)(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) (15)x2+1(x−1)23 《ポイント》 適宜、対数微分法を利用しましょう。 《解答例》 (10) y=etan−1x の両辺に自然対数を取ると、logy=tan−1xとなる。 よって dydx=y⋅11+x2 である。 答∴ddxetan−1x=etan−1x1+x2 ⋯⋯(答) 答 ddx(x2+1)5(x3−2)3=(x3−2)2(x2+1)4{9x2(x2+1)+10x(x3−2)}=x(x3−2)2(x2+1)4(19x3+9x−20) ⋯⋯(答) (11) ddxxa2−x2=−x2a2−x2+a2−x2 ⋯⋯① ddxa2sin−1xa=a1−(xa)2=a2a2−x2 ⋯⋯② ①、②の辺々を加えると 答 ddx(xa2−x2+a2sin−1xa)=a2−x2a2−x2+a2−x2=2a2−x2 ⋯⋯(答) (12) 答 ddx(sin−1x1+x2)=(x1+x2)´⋅11−(x1+x2)2=(1+x2)−x2(1+x2)1+x21+x2=11+x2 ⋯⋯(答) (13) 答 ddx(2cos−1x+12)=2(x+12)´⋅−11−(x+12)2=−2⋅14x+12⋅11−x2=−11−x2 ⋯⋯(答) (14) y=(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) の両辺に自然対数を取ると、 logy=12{log(x−1)+log(x−2)−log(x−3)−log(x−4)} 答∴dydx=y⋅12(1x−1+1x−2−1x−3−1x−4)=12(1x−1+1x−2−1x−3−1x−4)(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) ⋯⋯(答) ※−2x2−10x+11x−1)(x−2)(x−3)(x−4)(x−1)(x−2)(x−3)(x−4) でも可 (15) y=x2+1(x−1)23 の両辺に自然対数を取ると、 logy=13{log(x2+1)−2log(x−1)} 答∴dydx=y⋅13(2xx2+1−2x−1)=x2+1(x−1)23(2xx2+1−2x−1) ⋯⋯(答) ※−(2(x+1)3(x2+1)(x−1))x2+1(x−1)23でも可 復習例題2.1.1b 次の関数の導関数を求めよ。 (1)1sin32(x) (2)2arcsinx+12 (3)arcsinxx2+1 >>解答・解説 前に戻る トップへ戻る 次の問題へ