微積2.1.4

前に戻る トップへ戻る

問題2.1.4

次の関数f(x)の導関数を求めよ。また、それが(,)で連続であるかどうか調べよ。

(1)f(x)={x2sin1x(x0)      0(x=0)

(2)f(x)={x3sin1x(x0)      0(x=0)

 

《ポイント》

y=f(x)の逆関数はx=f(y)により与えられますが、x=f(y)が「関数」として定義可能でなければy=f(x)の逆関数は存在しません。

 


 

《解答例》

(1)

f(x)={x2sin1x(x0)      0(x=0) より、x0において

f(x)=2xsin1xcos1x  (答)

となる。2xsin1xcos1xx0で連続である(注1)からx=0における連続性を調べればよい。

limx0|2xsin1x|<limx0|2x|0であるが、cos1xx0とすると振動するから limx0|cos1x| は存在しない。

故にf(x)x=0において不連続である。

したがってf(x)の導関数は(,)で連続でない。

(注1)x1xsinxcosxは連続関数だから積や合成関数
も連続関数である。

 

(2)

f(x)={x3sin1x(x0)      0(x=0) より、x0において

f(x)=3x2sin1xxcos1x  (答)

となる。3x2sin1xxcos1xx0で連続である(注2)からx=0における連続性を調べればよい。

limx0|3x2sin1x+(xcos1x)|<limx0|3x2|+limx0|x|0
であるから、f(x)x=0において連続である。

したがってf(x)の導関数は(,)で連続である。

(注2)x1xsinxcosxは連続関数だから積や合成関数
も連続関数である。

 


 

復習例題未設定

 


前に戻る トップへ戻る