問題2.1.4
次の関数$f(x)$の導関数を求めよ。また、それが$(-\infty , \infty)$で連続であるかどうか調べよ。
（１）$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ \ 0 & (x=0) \end{cases} $
（２）$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^3 \sin \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ \ 0 & (x=0) \end{cases} $
《ポイント》
$y=f(x)$の逆関数は$x=f(y)$により与えられますが、$x=f(y)$が「関数」として定義可能でなければ$y=f(x)$の逆関数は存在しません。
《解答例》
（１）
$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ \ 0 & (x=0) \end{cases} $ より、$x\ne0$において
$$f'(x)=2x \sin \dfrac{1}{x}-\cos \dfrac{1}{x} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$
となる。$2x\sin \dfrac{1}{x}-\cos \dfrac{1}{x}$ は$x\ne0$で連続である（注１）から$x=0$における連続性を調べればよい。
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \left| 2x\sin \dfrac{1}{x} \right| < \displaystyle \lim_{x \to 0} |2x| \to 0$であるが、$\cos \dfrac{1}{x}$ は$x \to 0$とすると振動するから $\displaystyle \lim_{x \to 0}|\cos \dfrac{1}{x}|$ は存在しない。
故に$f'(x)$は$x=0$において不連続である。
したがって$f(x)$の導関数は$(-\infty , \infty)$で連続でない。
（注１）$x、 \dfrac{1}{x} 、\sin x、\cos x$は連続関数だから積や合成関数
も連続関数である。
（２）
$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x^3 \sin \dfrac{1}{x} & (x \ne 0) \\ \ \ \ \ \ \ 0 & (x=0) \end{cases} $ より、$x\ne0$において
$$f'(x)=3x^2 \sin \dfrac{1}{x}-x\cos \dfrac{1}{x} \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$$
となる。$3x^2 \sin \dfrac{1}{x}-x\cos \dfrac{1}{x}$ は$x\ne0$で連続である（注２）から$x=0$における連続性を調べればよい。
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \left|3x^2 \sin \dfrac{1}{x}+\left( -x\cos \dfrac{1}{x} \right) \right| < \displaystyle \lim_{x \to 0}|3x^2 |+\displaystyle \lim_{x \to 0} |x| \to 0$
であるから、$f'(x)$は$x=0$において連続である。
したがって$f(x)$の導関数は$(-\infty , \infty)$で連続である。
（注２）$x、 \dfrac{1}{x} 、\sin x、\cos x$は連続関数だから積や合成関数
も連続関数である。
復習例題未設定