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問題2.1.4

次の関数$f(x)$の導関数を求めよ。また、それが$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$で連続であるかどうか調べよ。

（１）${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}}$

（２）${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}}$

 

《ポイント》

$y=f(x)$の逆関数は$x=f(y)$により与えられますが、$x=f(y)$が「関数」として定義可能でなければ$y=f(x)$の逆関数は存在しません。

 

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《解答例》

（１）

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}}$　より、$x\ne 0$において

$$f^{\prime }(x)=2x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}-\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}\cdots \cdots \text{(答)}$$

となる。$2x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}-\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}$ は$x\ne 0$で連続である（注１）から$x=0$における連続性を調べればよい。

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}|2x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}|<{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}|2x|\to 0}}$であるが、$\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}$ は$x\to 0$とすると振動するから ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}|\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}|}$ は存在しない。

故に$f^{\prime }(x)$は$x=0$において不連続である。

したがって$f(x)$の導関数は$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$で連続でない。

（注１）$x、{\displaystyle \frac{1}{x}}、\sin x、\cos x$は連続関数だから積や合成関数
も連続関数である。

 

（２）

${\displaystyle f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^3\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}& (x\ne 0)\\ 0& (x=0)\end{array}}$　より、$x\ne 0$において

$$f^{\prime }(x)=3x^2\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}-x\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}\cdots \cdots \text{(答)}$$

となる。$3x^2\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}-x\cos {\displaystyle \frac{1}{x}}$ は$x\ne 0$で連続である（注２）から$x=0$における連続性を調べればよい。

${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}|3x^2\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}+(-x\cos {\displaystyle \frac{1}{x}})|<{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}|3x^2|+{\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}|x|\to 0}}}$
であるから、$f^{\prime }(x)$は$x=0$において連続である。

したがって$f(x)$の導関数は$(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$で連続である。

（注２）$x、{\displaystyle \frac{1}{x}}、\sin x、\cos x$は連続関数だから積や合成関数
も連続関数である。

 

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復習例題未設定

 

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