微積2.2.2

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問題2.2.2

次の関数の最大値、最小値を求めよ。

(1)$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}$

(2)$f(x)=x+\sqrt{1-x^2}$

 

《ポイント》

不等式の証明には差を取る、比を取る、絶対不等式を利用するなどの方法がありますが、ここでは微分により関数の大小関係を調べます。単純に単調性を利用できない場合(増減が変動する場合)は、必要に応じて増減表を利用して議論しましょう。

 


 

《解答例》

(1)

$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}=1- \dfrac{2}{1+x }$ である。

$x^2+1 \geqq 1 (x=0)$より、$\dfrac{2}{1+x } \leqq 2$

$∴1- \dfrac{2}{1+x }\geqq-1$ (等号成立は$x=0$のとき)

故に$f(x) \geqq -1$であるから、

 最大値 なし、

 最小値 $x=0$ のとき $-1$ ・・・(答)

 

【微分による方法(多分こっちが正統派)】

$f'(x)=\left( 1- \dfrac{2}{1+x} \right)^{´}=\dfrac{4x}{(x^2+1)^2}$ より、増減表は以下。

$x$ $\cdots$ $0$ $\cdots$
$f'(x)$ $-$ $0$ $+$
$f(x)$ $\searrow$ $-1$ $\nearrow$

故に$f(x) \geqq -1$であるから、

 最大値 なし、

 最小値 $x=0$ のとき $-1$ ・・・(答)

 

(2)

$f(x)=x+\sqrt{1-x^2} \ \ (-1 \leqq x \leqq 1)$であるから、$f'(x)=1-\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ となる。

$f'(x)=0$、即ち $\dfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}=1$となる$x$を$x>0$において
求めると$x=\dfrac{1}{\sqrt2}$となる。よって増減表は以下。

 

$x$ $-1$ $\cdots$ $\dfrac{1}{\sqrt2}$ $\cdots$ $1$
$f'(x)$ $+$ $0$ $-$
$f(x)$ $-1$ $\nearrow$ $\sqrt2$ $\searrow$ $1$

表より、

最大値 $\sqrt{2} \ \ \left( x=\dfrac{1}{\sqrt2} \right)$、

最小値 $-1 \ \ (x=-1)$ ・・・(答)

 


 

復習例題未設定

 


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