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問題2.4.3

次の関数の漸近展開を$o(x^3)$を用いて書き表せ。

（１）$(1+x^2)\cos x$

（２）$(2-x)\sqrt{1+x}$

（３）$e^{2x}\sin x$

（４）${\tan }^{-1}x$

 

《ポイント》

ランダウの記号を用いて$$f(x)=\sum _{k=0}^n{\displaystyle \frac{f^{(k)}(0)}{k!}}{x}^k+o(x^n)(x\to 0)$$と表すことを「漸近展開」と呼びます。本問では$x^3$の項まで求めます。

漸近展開の簡単な計算方法については当サイトの記事「ランダウの記号と漸近展開の2通りの求め方（漸近展開の合成）」を参照してください。

 

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《解答例》

（１）

$f(x)=(1+x^2)\cos x$とおくと、

$f^{(1)}(x)=2x\cos x-(x^2+1)\sin x$

$f^{(2)}(x)=-4x\sin x-(x^2-1)\cos x$

$f^{(3)}(x)=-6x\cos x+(x^2-5)\sin x$

であるから、

$\begin{array}{rl}f(x)& =f(0)+f^{(1)}(0)x+{\displaystyle \frac{f^{(2)}(0)}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{f^{(3)}(0)}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =1+0\cdot x+{\displaystyle \frac{1}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{0}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+o(x^3) \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

【別解】

$\begin{array}{rl}(1+x^2)\cos x& =(1+x^2)(1-{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+o(x^3))\\ & =1+{\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2+o(x^3) \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（２）

$f(x)=(2-x)\sqrt{1+x}=(2-x)(1+x{)}^{\frac{1}{2}}$とおくと、

$f^{(1)}(x)=-(1+x{)}^{\frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}(2-x)(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}$

$f^{(2)}(x)=-(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{4}}(2-x)(1+x{)}^{-\frac{3}{2}}$

$f^{(3)}(x)={\displaystyle \frac{3}{4}}(1+x{)}^{-\frac{3}{2}}+{\displaystyle \frac{3}{8}}(2-x)(1+x{)}^{-\frac{5}{2}}$

であるから、

$\begin{array}{rl}f(x)& =f(0)+f^{(1)}(0)x+{\displaystyle \frac{f^{(2)}(0)}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{f^{(3)}(0)}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =2+0\cdot x+{\displaystyle \frac{(-{\displaystyle \frac{3}{2}})}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =2-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3+o(x^3) \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

【別解】

$$\begin{array}{rl}(1+x{)}^{\frac{1}{2}}& \stackrel{\left(\frac{d}{dx}\right)}{\to }{\displaystyle \frac{1}{2}}(1+x{)}^{-\frac{1}{2}}\\ & \stackrel{\left(\frac{d}{dx}\right)}{\to }-{\displaystyle \frac{1}{4}}(1+x{)}^{-\frac{3}{2}}\\ & \stackrel{\left(\frac{d}{dx}\right)}{\to }{\displaystyle \frac{3}{8}}(1+x{)}^{-\frac{5}{2}}\end{array}$$より、$$\sqrt{1+x}=1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{16}}{x}^3+o(x^3)$$となるから、

$\begin{array}{rl}& (2-x)(1+{\displaystyle \frac{1}{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{8}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{16}}{x}^3+o(x^3))\\ & =2-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3-{\displaystyle \frac{1}{16}}{x}^4+(2-x)o(x^3)\\ & =2-{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^3+o(x^3) \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（３）

$f(x)=e^{2x}\sin x$とおくと、

$f^{(1)}(x)=2e^{2x}\sin x+e^{2x}\cos x$

$f^{(2)}(x)=3e^{2x}\sin x+4e^{2x}\cos x$

$f^{(3)}(x)=2e^{2x}\sin x+11e^{2x}\cos x$

であるから、

$\begin{array}{rl}f(x)& =f(0)+f^{(1)}(0)x+{\displaystyle \frac{f^{(2)}(0)}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{f^{(3)}(0)}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =0+1\cdot x+{\displaystyle \frac{4}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{11}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =x+2x^2+{\displaystyle \frac{11}{6}}{x}^3+o(x^3) \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

【別解】

$\begin{array}{rl}& e^{2x}\sin x\\ & =\{1+(2x)+{\displaystyle \frac{1}{2!}}(2x{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{3!}}(2x{)}^3+o(x^3)\}\cdot \{x-{\displaystyle \frac{1}{3!}}{x}^3+o(x^3)\}\\ & =x+2x^2+{\displaystyle \frac{11}{6}}{x}^3-x^4-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^5-{\displaystyle \frac{2}{9}}{x}^6\\ & +\{1+3x+2x^2-{\displaystyle \frac{7}{6}}{x}^3+o(x^3)\}\cdot o(x^3)\\ & =x+2x^2+{\displaystyle \frac{11}{6}}{x}^3+o(x^3) \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

（おまけ：$e^{2x}\cos x$の場合）

$f(x)=e^{2x}\cos x$とおくと、

$f^{(1)}(x)=2e^{2x}\cos x-e^{2x}\sin x$

$f^{(2)}(x)=3e^{2x}\cos x-4e^{2x}\sin x$

$f^{(3)}(x)=2e^{2x}\cos x-11e^{2x}\sin x$

であるから、

$\begin{array}{rl}f(x)& =f(0)+f^{(1)}(0)x+{\displaystyle \frac{f^{(2)}(0)}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{f^{(3)}(0)}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =1+2\cdot x+{\displaystyle \frac{3}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{2}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =1+2x+{\displaystyle \frac{3}{4}}{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+o(x^3) \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

（４）

$f(x)={\tan }^{-1}x$とおくと、

$f^{(1)}(x)={\displaystyle \frac{1}{1+x^2}}=(1+x^2{)}^{-1}$

$f^{(2)}(x)=-2x(1+x^2{)}^{-2}$

$f^{(3)}(x)=-2(1+x^2{)}^{-2}+8x^2(1+x^2{)}^{-3}$

であるから、

$\begin{array}{rl}f(x)& =f(0)+f^{(1)}(0)x+{\displaystyle \frac{f^{(2)}(0)}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{f^{(3)}(0)}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =0+1\cdot x+{\displaystyle \frac{0}{2!}}{x}^2+{\displaystyle \frac{-2}{3!}}{x}^3+o(x^3)\\ & =x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{x}^3+o(x^3) \cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

 

 

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本問の復習例題は設定していませんが、当サイトの記事「ランダウの記号と漸近展開の2通りの求め方（漸近展開の合成）」に演習問題を掲載しています。

 

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