問題2.4.6
次の値の近似値を、与えられた関数の有限マクローリン展開の、$x^5$の項まで計算して求めよ。また誤差も簡単に評価せよ。
（１）$e^{\frac{1}{2}}$ $\left( e^x 、x=\dfrac{1}{2} \right)$
（２）$\log 2$ $\left( \log \dfrac{1+x}{1-x} 、x=\dfrac{1}{3} \right)$
（３）$\sin 0.1$ $\left( \sin x 、x=0.1 \right)$
《ポイント》
マクローリン展開は関数を多項式で近似する操作ですから、ある点における値も近似できます。本問は近似値を求める際にマクローリン展開が有用であることを確認する問題です。他の色々な値についても、計算機などで誤差を評価してみると良い勉強になるでしょう。
マクローリン展開の定義・概念については2.4.2や「『テイラー展開』の分かりやすい解説」のページを参照してください。
《解答例》
（１）
$f(x)=e^x$ として５次の項まで有限マクローリン展開すると、
$\begin{align} f(x) &=\sum_{k=0}^5 \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k+\dfrac{f^{(6)} (\theta x)}{6!} x^6 \\ &=\sum_{k=0}^5 \dfrac{1}{k!} x^k+\dfrac{e^\theta x}{720} x^6 \end{align}$
これに $x=\dfrac{1}{2}$ を代入して、
$\begin{align} e^{\frac{1}{2}} &≒\sum_{k=0}^5 \dfrac{1}{2^k k!}+\dfrac{e^{\frac{\theta}{2}}}{720 \cdot 2^6} \\ &=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{48}+\dfrac{1}{384}+\dfrac{1}{3840}+\dfrac{e^{\frac{\theta}{2}}}{720 \cdot 2^6} \\
&=\dfrac{6331}{3840}+\dfrac{e^{\frac{\theta}{2}}}{720 \cdot 2^6} \\ &= \color{red}{1.64869791 \dot{6}} \color{black} +\dfrac{e^{\frac{\theta}{2}}}{720 \cdot 2^6} \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
$0<\theta<1$、$e^{\frac{\theta}{2}}<2 \ (∵e<3)$より、誤差 $\dfrac{e^{\frac{\theta}{2}}}{720 \cdot 2^6}$は
$$\begin{align} \dfrac{e^{\frac{\theta}{2}}}{720 \cdot 2^6} &<\dfrac{2}{720 \cdot 2^6} \\ &=\dfrac{1}{720 \cdot 2^5} \\ &=0.000043402 \dot{7} \\ &<0.00005 \\ &<0.0001 \end{align}$$
（２）
$f(x)=\log \dfrac{1+x}{1-x}=\log (1+x)-\log (1-x)$として５次の項まで有限マクローリン展開すると、
$f^{(n)} (x)=(-1)^{n-1} \cdot (n-1)!(1+x)^{-n}+(n-1)!(1-x)^{-n}$
$\begin{align}& \ \ \ \ \ f(x) \\ &=\sum_{k=0}^5 \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k+\dfrac{f^{(6)}(\theta x)}{6!} x^6 \\
&=\sum_{k=1}^5 \dfrac{(-1)^{k-1}+1}{k} x^k \\ & \ \ \ \ \ +\dfrac{(-1)^5 \cdot (6-1)!(1+\theta x)^{-6}+(6-1)!(1-\theta x)^{-6}}{6!} x^6 \\
&=\sum_{k=1}^5 \dfrac{(-1)^{k-1}+1}{k} x^k+\dfrac{-(1+\theta x)^{-6}+(1-\theta x)^{-6}}{6} x^6 \end{align}$
これに $x=\dfrac{1}{3}$ を代入して、
$\begin{align} &=\sum_{k=1}^5 \dfrac{(-1)^{k-1}+1}{k \cdot 3^k}+\dfrac{(1+\dfrac{1}{3} \theta)^{-6}+(1-\dfrac{1}{3} \theta)^{-6}}{6 \cdot 3^6 } \\
&=\dfrac{2}{1 \cdot 3^1}+\dfrac{2}{3 \cdot 3^3}+\dfrac{2}{5 \cdot 3^5} \\
& \ \ \ \ \ +\dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}+\left(1-\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}}{6 \cdot 3^6} \\
&=\dfrac{842}{1215}+\dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}+\left(1-\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}}{6 \cdot 3^6} \\
&=\color{red}{0.69300411…} \\
& \ \ \ \ \ +\dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}+\left(1-\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}}{6 \cdot 3^6} \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
$0<\theta<1$より誤差 $\dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}+\left(1-\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}}{6 \cdot 3^6}$ は
$$\begin{align} \dfrac{\left( 1+\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}+\left(1-\dfrac{1}{3} \theta \right)^{-6}}{6 \cdot 3^6} &<\dfrac{2}{6 \cdot 3^6} \\ &=\dfrac{1}{3^7} \\ &=0.00045724… \\ &<0.0005 \end{align}$$
※因みに、$f(x)=\log(x+1)$として５次の項まで有限マクローリン展開すると、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ f(x) \\ &=\sum_{k=0}^5 \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k +\dfrac{f^{(6)}(\theta x)}{6!} x^6 \\ &=\sum_{k=1}^5 \dfrac{(-1)^k}{k} x^k+\dfrac{1}{6(\theta x+1)^6 } x^6 \end{align}$
これに$x=1$を代入して、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ \log2 \\ &≒\sum_{k=1}^5 \dfrac{(-1)^k}{k}+\dfrac{1}{6(\theta+1)^6} \\ &=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6(\theta+1)^6} \\ &=\dfrac{47}{60}+\dfrac{1}{6(\theta+1)^6} \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
$0<\theta<1$より誤差 $\dfrac{1}{6(\theta+1)^6}$ は、 $$\dfrac{1}{6(\theta+1)^6}<\dfrac{1}{6}=0.1 \dot{6}$$となり、かなり粗い近似しかできない。
（３）
$f(x)=\sin x$ として５次の項まで有限マクローリン展開すると、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ f(x) \\
&=\sum_{k=0}^5 \dfrac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k+\dfrac{f^{(6)}(\theta x)}{6!} x^6 \\
&=x-\dfrac{1}{3!} x^3+\dfrac{1}{5!} x^5+\dfrac{-\sin \theta x}{6!} x^6 \end{align}$
これに $\dfrac{1}{10}$ を代入すると、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \sin0.1 \\
&≒\dfrac{1}{10}-\dfrac{1}{3!} \left( \dfrac{1}{10} \right)^3+\dfrac{1}{5!} \left( \dfrac{1}{10} \right)^5+\dfrac{-\sin \dfrac{\theta}{10}}{6!} \left( \dfrac{1}{10} \right)^6 \\
&=\dfrac{1198001}{12000000}+\dfrac{-\sin \dfrac{\theta}{10}}{6!} \left( \dfrac{1}{10} \right)^6 \\
&=\color{red}{0.09983341 \dot{6}}+\dfrac{-\sin \dfrac{\theta}{10}}{6!} \left( \dfrac{1}{10} \right)^6 \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
$0<\theta<1$より誤差 $\dfrac{-\sin \dfrac{\theta}{10}}{6!} \left( \dfrac{1}{10} \right)^6$ は、
$$\begin{align} \left| \dfrac{-\sin \dfrac{\theta}{10}}{6!} \left( \dfrac{1}{10} \right)^6 \right| &<\dfrac{1}{6! \cdot 10^6} \\ &=\dfrac{1}{720000000} \\ &<\dfrac{1}{100000000}=10^{-8} \end{align}$$
各種三角関数のマクローリン展開についてはこちらのページにまとめています。