微積2.4.7

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問題2.4.7

$f(x)$が$C^2$級で$f^{\prime }{}^{\prime }(a)\ne 0$とすると、平均値の定理$$f(a+h)=f(a)+h{f}^{\prime }(a+\theta h)$$において、${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}}$を示せ。

（hint：平均値の定理を用いて上式に代入したものと、$n=2$のときの$f$についてテーラーの定理を比較する。）

 

《ポイント》

平均値の定理とテーラーの定理に関する有名問題です。実は「テーラーの定理」は平均値の定理を一般化したものに対応しています。詳しくは「『テイラー展開』の分かりやすい解説」のページを参照してください。

 

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《解答例》

与式より、$$f(a+h)=f(a)+h{f}^{\prime }(a+\theta h)\cdots \mathrm{①}$$である。$f(x)$について$x=a$においてテーラー展開すると、

$$f(x)={\displaystyle \frac{f(a)}{0!}}+{\displaystyle \frac{f^{\prime }(a)(x-a)}{1!}}+{\displaystyle \frac{f^{\prime }{}^{\prime }(a+\epsilon (x-a))}{2!}}(x-a{)}^2$$

（ただし$\epsilon$は$0<\epsilon <1$を満たす実数）

となる。$x=a+h$をこれに代入すると、$$f(a+h)=f(a)+h{f}^{\prime }(a)+{\displaystyle \frac{f^{\prime }{}^{\prime }(a+\epsilon h)}{2}}{h}^2\cdots \mathrm{②}$$となる。①と②の差をとって整理すると、
$$f^{\prime }(a+\theta h)-f^{\prime }(a)={\displaystyle \frac{h}{2}}{f}^{\prime }{}^{\prime }(a+\epsilon h)\cdots \mathrm{③}$$を得る。また、$f^{\prime }(x)$に平均値の定理を適用すると、

$${\displaystyle \frac{f^{\prime }(a+k)-f^{\prime }(a)}{(a+k)-a}}=f^{\prime }{}^{\prime }(a+\delta k)$$

$$\therefore f^{\prime }(a+k)-f^{\prime }(a)=k{f}^{\prime }{}^{\prime }(a+\delta k)$$

（ただし$a<a+\delta k<a+k$、即ち$\delta$は$0<\delta <1$を満たす実数）

となる。この式を③式と比較したいから$k=\theta h$と置き換えて、$$f^{\prime }(a+\theta h)-f^{\prime }(a)=\theta h{f}^{\prime }{}^{\prime }(a+\delta \theta h)\cdots \mathrm{④}$$を得る。③、④より、$$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{f^{\prime }{}^{\prime }(a+\epsilon h)}{f^{\prime }{}^{\prime }(a+\delta \theta h)}}$$であり、$h\to 0$とすると、$$\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{f^{\prime }{}^{\prime }(a+0)}{f^{\prime }{}^{\prime }(a+0)}}\therefore \theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

よって ${\displaystyle \underset{h\to 0}{lim}\theta ={\displaystyle \frac{1}{2}}}$ が示された。

 

 

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復習例題未設定

 

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