問題3.1.1b
次の不定積分を求めよ。
（５）$\displaystyle \int \dfrac{x}{(1+x^2)^3} dx$
（６）$\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+2x+2}$
（７）$\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x} dx$
（８）$\displaystyle \int \sin ^{-1}x dx$
《ポイント》
数Ⅲの計算問題です。置換積分、部分積分などは最低限身に付けておく必要があります。
《解答例》
（５）
$\displaystyle \int \dfrac{x}{(1+x^2)^3} dx$
$1+x^2=t$と置くと、$xdx=\dfrac{1}{2} dt$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{x}{(1+x^2)^3} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{t}^3 \cdot \dfrac{1}{2} dt \\
&=-\frac{1}{4} t^{-2}+C \\
&=-\frac{1}{4} (1+x^2)^{-2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$x= \tan \theta $ と置くと、$dx=\dfrac{1}{\cos^2 \theta} d \theta $ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{x}{(1+x^2)^3} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{\tan \theta }{(1+ \tan ^2 \theta )^3} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 \theta} d \theta \\
&=\displaystyle \int \sin \theta \cos ^3 \theta d \theta \\
&-\displaystyle \int ( \cos \theta )’ \cos ^3 \theta d \theta \\
&=-\frac{1}{4} \cos^{4} \theta +C \\
&=-\frac{1}{4} \left(\dfrac{1}{\tan ^2 \theta +1} \right)^2+C \\
&=-\frac{1}{4} (1+x^2)^{-2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（６）
$\displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+2x+2}$
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+2x+2} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+1} \end{align}$
ここで$x+1=t$と置くと、$dx=dt$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+1} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{dt}{t^2+1} \\
&=\tan ^{-1} t+C \\
&= \tan ^{-1} (x+1)+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$x+1= \tan \theta $ と置くと、$dx=\dfrac{1}{\cos^2 \theta} d \theta $ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dx}{x^2+2x+2} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{dx}{(x+1)^2+1} \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{\tan ^2 \theta +1} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 \theta} d \theta \\
&=\theta +C \\
&=\tan ^{-1} (x+1)+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（７）
$\displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x} dx$
$\cos x=t$と置くと、 $\sin x dx=-dt$ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{-1}{t^3} dt \\
&=\dfrac{1}{2} t^{-2}+C \\
&=\dfrac{1}{2 \cos^{2}x}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{\sin x}{\cos ^{3}x} dx \\
&=-\displaystyle \int \dfrac{( \cos x )’}{\cos ^{3}x} dx \\
&=-\dfrac{1}{2} \displaystyle \int \left(\frac{1}{\cos^{2}x} \right)’ dx \\
&=\dfrac{1}{2 \cos^{2}x}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（８）
$\displaystyle \int \sin ^{-1}x dx$
$\sin ^{-1}x= \theta $ と置くと、$x= \sin \theta $ なので、
$\dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=d \theta $ は即ち $dx= \cos \theta d \theta $ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \theta \cos \theta d \theta \\
&= \theta \sin \theta -\displaystyle \int \sin \theta d \theta +C’ \\
&= \theta \sin \theta + \cos \theta +C \\
&=x \sin ^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \sin ^{-1}x dx \\
&=x \sin ^{-1}x-\displaystyle \int x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx+C’ \end{align}$
$x= \sin \theta $ と置くと、$dx= \cos \theta d \theta $ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx \\
&=\displaystyle \int \sin \theta \cdot \dfrac{1}{\cos \theta} \cdot \cos \theta d \theta \\
&=- \cos \theta +C'{}’ \\
&=-\sqrt{1-x^2}+C'{}’ \end{align}$
よって
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \sin ^{-1}x dx \\
&=x \sin ^{-1}x+\sqrt{1-x^2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（注）
$\displaystyle \int \dfrac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}$ の計算は $1-x^2=t$ などと置いても可能です。
復習例題未設定