問題3.1.1c
次の不定積分を求めよ。
（９）$\displaystyle \int x^2 e^{3x} dx$
（１０）$\displaystyle \int x \log x dx$
（１１）$\displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}$
（１２）$\displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{1- (x+2)^2}} dx$
《ポイント》
数Ⅲの計算問題です。置換積分、部分積分などは最低限身に付けておく必要があります。
《解答例》
（９）
$\displaystyle \int x^2 e^{3x} dx$
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int x^2 e^{3x} dx \\
&=\dfrac{1}{3} x^2 e^{3x}-\dfrac{2}{3} \displaystyle \int xe^{3x} dx+C’ \\
&=\dfrac{1}{3} x^2 e^{3x}-\dfrac{2}{9} xe^{3x}+\dfrac{2}{27} e^{3x}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（１０）
$\displaystyle \int x \log x dx$
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int x \log x dx \\
&=\dfrac{1}{2} x^2 \log x-\displaystyle \int \dfrac{1}{2} x^2 \cdot \dfrac{1}{x} dx+C \\
&=\dfrac{1}{2} x^2 \log x-\dfrac{x^2}{4}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（１１）
$\displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} dx$
$x=a \sin \theta $ と置くと、$dx=a \cos \theta d \theta $ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{a^2 \sin^{2} \theta }{\sqrt{a^2-a^2 \sin^{2} \theta }} \cdot a \cos \theta d \theta \\
&=\displaystyle \int \dfrac{a^2 \sin^{2} \theta }{a \cos \theta } \cdot a \cos \theta d \theta \\
&=a^2 \displaystyle \int \sin^{2} \theta d \theta \\
&=a^2 \displaystyle \int \dfrac{1- \cos 2 \theta }{2} d \theta \\
&=\dfrac{a^2}{2} \left( \theta -\dfrac{1}{2} \sin 2 \theta \right)+C \\
&=\dfrac{a^2}{2} ( \theta – \sin \theta \cos \theta )+C \\
&=\dfrac{a^2}{2} \sin ^{-1} \dfrac{x}{|a|} -\dfrac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}} dx \\
&=\displaystyle \int x \cdot \dfrac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} dx \\
&=x \cdot \dfrac{1}{2} \cdot (-2) \sqrt{a^2-x^2}-\\
& \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{2} \cdot (-2) \sqrt{a^2-x^2} dx+C’ \\
&=-x\sqrt{a^2-x^2}+\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} dx+C’ \\
&=-x\sqrt{a^2-x^2}+\dfrac{1}{2} \left( a^2 \sin ^{-1} \dfrac{x}{|a|} +x\sqrt{a^2-x^2} \right)+C \\
&=\dfrac{a^2}{2} \sin ^{-1} \dfrac{x}{|a|} -\dfrac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（注）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} dx \\ &=\dfrac{1}{2} \left(a^2 \sin ^{-1} \dfrac{x}{|a|} +x\sqrt{a^2-x^2}\right) \end{align}$
を利用した。
（１２）
$\displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{1- (x+2)^2}} dx$
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{1- (x+2)^2}} dx \\
&=\displaystyle \int x \cdot \dfrac{1}{\sqrt{1- (x+2)^2}} dx \\
&=x \sin ^{-1} (x+2)- \displaystyle \int \sin^{-1} (x+2) dx+C’ \\
&=x \sin ^{-1} (x+2)- \displaystyle \int (x+2)’ \cdot \sin ^{-1} (x+2) dx+C’ \\
&=x \sin ^{-1} (x+2)- (x+2) \sin ^{-1} (x+2) \\
&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -\sqrt{1-(x+2)^2}+C \\
&=-2 \sin ^{-1} (x+2)-\sqrt{1-(x+2)^2}+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$x+2= \sin \theta $ と置くと、$dx= \cos \theta d \theta $ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{1- (x+2)^2}} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{\sin \theta -2}{\sqrt{1-\sin^{2} \theta }}\cdot \cos \theta d \theta \\
&=\displaystyle \int ( \sin \theta -2) d \theta \\
&=- \cos \theta -2 \theta +C \\
&=-\sqrt{1-(x+2)^2}-2 \sin^{-1} (x+2)+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
復習例題未設定