微積3.1.2a

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問題3.1.2a

 次の定積分の値を求めよ。

(1)$\displaystyle \int_0^2 x^2 e^{2x} dx$

(2)$\displaystyle \int_0^{\frac{a}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx (a>0)$

3)$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{3}x dx$

(4)$\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{1+x}{1+x^2} dx$

 

《ポイント》

定積分の計算では計算間違いが多発しやすいので、割り算や掛け算などでは約分できる形に取っておいたり、分配法則を駆使することを推奨します。その他にも、三角関数は部分積分を使える形に直す、分数関数は分子の次数を下げる・・・などの基本的な操作も、定積分の計算を正確に遂行するためには欠かせません。

しっかり自分の手を動かして訓練することが大切です。

 


 

《解答例》

(1)

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^2 x^2 e^{2x} dx \\
&=\left[\dfrac{1}{2} x^2 e^{2x}-\dfrac{1}{2} xe^{2x}+\frac{1}{4} e^{2x} \right]_0^2 \\ &=\dfrac{5}{4} e^4-\frac{1}{4} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

(2)

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{a}{2}} \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx (a>0) \\
&=\left[ \sin ^{-1} \dfrac{x}{a}\right]_0^{\frac{a}{2}} \\
&= \sin ^{-1} \dfrac{1}{2} \\
&=\dfrac{\pi}{6} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 

(3)

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{3}x dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos ⁡x (1- \sin ^{2}x) dx \\
&=\left[ \sin ⁡x-\dfrac{1}{3} \sin ^{3}x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&=\dfrac{5\sqrt{2}}{12} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

〈別解〉

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \cos ^{3}x dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{4}( \cos ⁡3x+3 \cos ⁡x) dx \\
&=\frac{1}{4} \left[\dfrac{1}{3} \sin ⁡3x+3 \sin ⁡x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\
&=\dfrac{5\sqrt{2}}{12} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

(注)漸化式(もしくはウォリスの公式)を用いても可能です。

 

(4)

$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \dfrac{1+x}{1+x^2} dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\sqrt{3}} \left( \dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{x}{1+x^2}\right) dx \\
&=\left[ \tan^{-1}⁡x+\dfrac{1}{2} \log ⁡ (x^2+1) \right]_0^{\sqrt3} \\
&=\dfrac{\pi}{3}+ \log 2 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$

 


 

復習例題未設定

 


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