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問題3.1.3

　$f(x)$が連続であるとき、次の微分を$f$を用いて表せ。

（１）${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_{-x}^{x+1}f(2t)dt}$

（２）${\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_x^{2x}tf(t^2)dt}$

 

《ポイント》

ダミー変数による積分関数の微分では原始関数を$F(x)$などと仮定すると見通しが良くなることが多いです。${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(x)=f(x)$ですが、例えば$F(x^2)$なら$${\displaystyle \frac{d}{dx}}F(x^2)=2xf(x)$$となりますし、$xF(x^2)$なら$${\displaystyle \frac{d}{dx}}(xF(x^2))=F(x^2)+2x^{2}f(x)$$となります。合成関数の微分法則や、中身の微分を忘れないように注意しましょう。

 

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《解答例》

（１）

函数$f(t)$の原始函数を$F(t)$とするとき、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_{-x}^{x+1}f(2t)dt}\\ & ={\displaystyle \frac{d}{dx}}\{{\displaystyle \frac{1}{2}}F(2(x+1))-{\displaystyle \frac{1}{2}}F(-2x)\}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (2(x+1){)}^{\prime }f(2(x+1))-{\displaystyle \frac{1}{2}}\cdot (-2x{)}^{\prime }f(-2x)\\ & =f(2x+2)+f(-2x)\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

となる。

 

（２）

$tf(t^2)=g(t)$として、函数$g$の原始函数を$G$とするとき、

$\begin{array}{rl}& {\displaystyle \frac{d}{dx}}{\displaystyle {\int }_x^{2x}tf(t^2)dt}\\ & ={\displaystyle \frac{d}{dx}}\{G(2x)-G(x)\}\\ & =(2x{)}^{\prime }g(2x)-x^{\prime }g(x)\\ & =4xf((2x{)}^2)-xf(x^2)\\ & =4xf(4x^2)-xf(x^2)\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$

となる。

 

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復習例題未設定

 

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