微積3.1.3

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問題3.1.3

 f(x)が連続であるとき、次の微分をfを用いて表せ。

(1)ddxxx+1f(2t)dt

(2)ddxx2xtf(t2)dt

 

《ポイント》

ダミー変数による積分関数の微分では原始関数をF(x)などと仮定すると見通しが良くなることが多いです。ddxF(x)=f(x)ですが、例えばF(x2)ならddxF(x2)=2xf(x)となりますし、xF(x2)ならddx(xF(x2))=F(x2)+2x2f(x)となります。合成関数の微分法則や、中身の微分を忘れないように注意しましょう。

 


 

《解答例》

(1)

函数f(t)の原始函数をF(t)とするとき、

     ddxxx+1f(2t)dt=ddx{12F(2(x+1))12F(2x)}=12(2(x+1))f(2(x+1))12(2x)f(2x)=f(2x+2)+f(2x)  (答)

となる。

 

(2)

tf(t2)=g(t)として、函数gの原始函数をGとするとき、

     ddxx2xtf(t2)dt=ddx{G(2x)G(x)}=(2x)g(2x)xg(x)=4xf((2x)2)xf(x2)=4xf(4x2)xf(x2)  (答)

となる。

 


 

復習例題未設定

 


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