微積3.1.3 前に戻る トップへ戻る 次の問題へ 問題3.1.3 f(x)が連続であるとき、次の微分をfを用いて表せ。 (1)ddx∫−xx+1f(2t)dt (2)ddx∫x2xtf(t2)dt 《ポイント》 ダミー変数による積分関数の微分では原始関数をF(x)などと仮定すると見通しが良くなることが多いです。ddxF(x)=f(x)ですが、例えばF(x2)ならddxF(x2)=2xf(x)となりますし、xF(x2)ならddx(xF(x2))=F(x2)+2x2f(x)となります。合成関数の微分法則や、中身の微分を忘れないように注意しましょう。 《解答例》 (1) 函数f(t)の原始函数をF(t)とするとき、 答 ddx∫−xx+1f(2t)dt=ddx{12F(2(x+1))−12F(−2x)}=12⋅(2(x+1))′f(2(x+1))−12⋅(−2x)′f(−2x)=f(2x+2)+f(−2x) ⋯⋯(答) となる。 (2) tf(t2)=g(t)として、函数gの原始函数をGとするとき、 答 ddx∫x2xtf(t2)dt=ddx{G(2x)−G(x)}=(2x)′g(2x)−x′g(x)=4xf((2x)2)−xf(x2)=4xf(4x2)−xf(x2) ⋯⋯(答) となる。 復習例題未設定 前に戻る トップへ戻る 次の問題へ