問題3.1.3
$f(x)$が連続であるとき、次の微分を$f$を用いて表せ。
（１）$\dfrac{d}{dx} \displaystyle \int_{-x}^{x+1} f(2t) dt$
（２）$\dfrac{d}{dx} \displaystyle \int_x^{2x} tf(t^2) dt$
《ポイント》
ダミー変数による積分関数の微分では原始関数を$F(x)$などと仮定すると見通しが良くなることが多いです。$\dfrac{d}{dx}F(x)=f(x)$ですが、例えば$F(x^2)$なら$$\dfrac{d}{dx}F(x^2)=2xf(x)$$となりますし、$xF(x^2)$なら$$\dfrac{d}{dx}\left(xF(x^2)\right)=F(x^2)+2x^{2}f(x)$$となります。合成関数の微分法則や、中身の微分を忘れないように注意しましょう。
《解答例》
（１）
函数$f(t)$の原始函数を$F(t)$とするとき、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \displaystyle \int_{-x}^{x+1} f(2t) dt \\
&=\dfrac{d}{dx} \left\{\dfrac{1}{2} F(2(x+1))-\dfrac{1}{2} F(-2x)\right\} \\
&=\dfrac{1}{2} \cdot (2(x+1))’f(2(x+1))-\dfrac{1}{2} \cdot (-2x)’ f(-2x) \\
&=f(2x+2)+ f(-2x) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
となる。
（２）
$tf(t^2 )=g(t)$として、函数$g$の原始函数を$G$とするとき、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{d}{dx} \displaystyle \int_x^{2x} tf(t^2) dt \\
&=\dfrac{d}{dx} \left\{ G(2x)-G(x) \right\} \\
&=(2x)’g(2x)-x’g(x) \\
&=4xf( (2x)^2 )-xf(x^2 ) \\
&=4xf(4x^2 )-xf(x^2 ) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
となる。
復習例題未設定