問題3.2.3
次の不定積分を求めよ。
(1)$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \cos x}dx$
(2)$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \cos x} dx$
(3)$\displaystyle \int \dfrac{1+ \cos x}{(1+ \sin x )^2} dx$
(4)$\displaystyle \int \dfrac{\cos x}{4+5 \sin x} dx$
(5)$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \tan x} dx$
(6)$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \sin x- \cos x} dx$
《ポイント》
三角関数を含んだ難しい置換積分では$\tan \dfrac{x}{2} =u$という置換が有効です。$\tan \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\sin x=\dfrac{2u}{1+u^2}$、$\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ と表すことができますから、ほとんどの積分は有理式の積分に帰着します。
ただ、迂闊に使用するとかえって複雑になってしまう場合もあるので、まずは簡単な方法で計算できないか試行錯誤しましょう。この置き換えは最終手段と考えておいた方が良いです。
《解答例》
(1)
$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \cos x}dx$
$\tan \dfrac{x}{2} =u$と置くと $ \dfrac{x}{2} = \tan^{-1} u$ より、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \cos x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{1+\dfrac{1-u^2}{1+u^2}} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int du \\
&=u+C \\
&= \tan \dfrac{x}{2} +C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \cos x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1- \cos x}{1- \cos^{2}x} dx=\displaystyle \int \left(\dfrac{1}{\sin ^{2}x} – \dfrac{\cos x}{\sin ^{2}x} \right) dx \\
&=-\dfrac{1}{\tan x} +\dfrac{1}{\sin }x +C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
(※見かけは異なるが、値は等しい)
(2)
$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \cos x} dx$
$\tan \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \cos x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{2+\dfrac{1-u^2}{1+u^2}} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{2}{3+u^2} du \end{align}$
$u=\sqrt 3 \tan \theta $と置くと、$du=\dfrac{\sqrt 3}{\cos^{2} \theta } d \theta $であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{2}{3+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{2}{3(1+ \tan ^2 \theta )} \cdot \dfrac{\sqrt 3}{\cos^{2} \theta } d \theta \\
&=\dfrac{2\sqrt 3}{3} \displaystyle \int d \theta \\
&=\dfrac{2\sqrt 3}{3} \theta +C \end{align}$
$\theta = \tan ^{-1} \dfrac{u}{\sqrt 3}= \tan ^{-1} \left( \dfrac{\sqrt 3}{3} \tan \dfrac{x}{2} \right) $より、
$=\dfrac{2\sqrt 3}{3} \tan ^{-1} \left( \dfrac{\sqrt 3}{3} \tan \dfrac{x}{2} \right)+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} $
(3)
$\displaystyle \int \dfrac{1+ \cos x}{(1+ \sin x )^2} dx$
$\tan \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\sin x=\dfrac{2u}{1+u^2}$、$\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1+ \cos x}{(1+ \sin x )^2} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1+\dfrac{1-u^2}{1+u^2}}{\left( 1+\dfrac{2u}{1+u^2} \right)^2} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=4\displaystyle \int \dfrac{1}{(1+u)^4} du \\
&=-\dfrac{4}{3(1+u)^3} +C \\
&=-\dfrac{4}{3\left(1+\tan \dfrac{x}{2}\right)^3} +C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
(4)
$\displaystyle \int \dfrac{\cos x}{4+5 \sin x} dx$
$\tan \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\sin x=\dfrac{2u}{1+u^2}$、$\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{\cos x}{4+5 \sin x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{\dfrac{1-u^2}{1+u^2}}{4+5 \cdot \dfrac{2u}{1+u^2}} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1-u^2}{(1+u^2)(2u+1)(u+2)} du \end{align}$
恒等式$$\dfrac{1-u^2}{(1+u^2)(2u+1)(u+2)}=\dfrac{au+b}{1+u^2}+\dfrac{c}{2u+1}+\dfrac{d}{u+2}$$を解くと、$a=-\dfrac{2}{5}$、$b=0$、$c=\dfrac{2}{5}$、$d=\dfrac{1}{5}$ を得るから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1-u^2}{(1+u^2)(2u+1)(u+2)} du \\
&=\dfrac{1}{5} \displaystyle \int \left(-\dfrac{2u}{1+u^2}+\dfrac{2}{2u+1}+\dfrac{1}{u+2}\right) du \\
&=\dfrac{1}{5} (- \log |1+u^2 |+ \log |2u+1|+ \log |u+2|)+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{(2u+1)(u+2)}{1+u^2} \right|+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{2u^2+5u+2}{1+u^2} \right|+C’ \end{align}$
($=\dfrac{1}{5} \log \left|\dfrac{2 \tan ^2 \dfrac{x}{2} +5 \tan \dfrac{x}{2} +2}{1+ \tan ^2 \dfrac{x}{2}}\right|+C$としてもよい。)
$\begin{align}&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{5u}{1+u^2}+2 \right|+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \log |\dfrac{1}{2} \left( 5 \cdot \dfrac{2u}{1+u^2}+4 \right)|+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \left( \log |5 \sin x+4|+ \log \dfrac{1}{2} \right)+C’ \\
&=\dfrac{1}{5} \log |5 \sin x+4|+\left( C’+ \log \dfrac{1}{2} \right) \\
&=\dfrac{1}{5} \log |5 \sin x+4|+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
〈別解〉
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{\cos x}{4+5 \sin x} dx \\
&=\dfrac{1}{5} \displaystyle \int \dfrac{(4+5 \sin x)’}{4+5 \sin x}dx \\
&=\dfrac{1}{5} \log |4+5 \sin x |+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
(5)
$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \tan x} dx$
$\tan x=u$と置くと、$\dfrac{1}{\cos^{2}x} dx=du$ 即ち、$dx=\dfrac{1}{1+u^2} du$であるから、
$\displaystyle \int \dfrac{1}{2+ \tan x} dx=\displaystyle \int \dfrac{1}{2+u} \cdot \dfrac{1}{1+u^2} du$
恒等式$$\dfrac{1}{(2+u)(1+u^2 )}=\dfrac{au+b}{1+u^2}+\dfrac{c}{2+u}$$を解くと、$a=-\dfrac{1}{5}$、$b=\dfrac{2}{5}$、$c=\dfrac{1}{5}$を得るから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{(2+u)(1+u^2 )} du \\
&=\dfrac{1}{5} \displaystyle \int \left( -\dfrac{u-2}{1+u^2}+\dfrac{1}{2+u}\right) du \\
&=\displaystyle \int \left(-\dfrac{u}{1+u^2}+\dfrac{2}{1+u^2}+\dfrac{1}{2+u}\right) du \\
&=-\dfrac{1}{10} \log |1+u^2 |+\dfrac{2}{5} \tan ^{-1} u+\dfrac{1}{5} \log |2+u|+C \\
&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{2+u}{\sqrt{1+u^2}} \right|+\dfrac{2}{5} \tan ^{-1} u+C \\
&=\dfrac{1}{5} \log \left| \dfrac{2+ \tan x}{\sqrt{1+ \tan ^{2x}} } \right|+\dfrac{2}{5} \tan ^{-1} ( \tan x)+C \\
&=\dfrac{1}{5} \log |(2+ \tan x) \cos x |+\dfrac{2}{5} x+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
(6)
$\displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \sin x- \cos x} dx$
$\tan \dfrac{x}{2} =u$と置くと、$dx=\dfrac{2}{1+u^2} du$、$\sin x=\dfrac{2u}{1+u^2}$、$\cos x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int \dfrac{1}{1+ \sin x- \cos x} dx \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{1+\dfrac{2u}{1+u^2}-\dfrac{1-u^2}{1+u^2}} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{u^2+1}{2u^2+2u} \cdot \dfrac{2}{1+u^2} du \\
&=\displaystyle \int \dfrac{1}{u(u+1)} du \\
&=\displaystyle \int \left( \dfrac{1}{u}-\dfrac{1}{u+1} \right) du \\
&= \log |u|- \log |u+1|+C \\
&= \log \left| \dfrac{u}{u+1}\right|+C \\
&= \log \left| \dfrac{\tan \dfrac{x}{2}}{\tan \dfrac{x}{2} +1}\right|+C \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
復習例題未設定