問題3.2.4
次の定積分の値を求めよ。
（１）$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{5}x dx$
（２）$\displaystyle \int_0^{\pi} (1- \sin x) \cos^{6}x dx$
《ポイント》
三角関数の定積分では倍角公式・半角公式を利用して次数を調整しながら計算を進めましょう。特に微分形が積になっている場合（例えば $\sin^4 x \cos x$ など）は公式を用いるまでもなく一気に積分できることに注意しましょう。$$\int \sin^4 x \cos x dx =\dfrac{1}{5}\sin^5 x+C$$という計算を忘れてしまう大学生が多いようですが･･･。
《解答例》
（１）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^{5}x dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1- \cos^{2}x )^2 \sin x dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} ( \sin x-2 \cos^{2}x \sin x+ \cos^{4}x \sin x) dx \\
&=\left[- \cos x+\dfrac{2}{3} \cos ^{3}x-\dfrac{1}{5} \cos^{5}x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\
&=0-\left(-1+\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{5}\right) \\
&=\dfrac{8}{15} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（２）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\pi} (1- \sin x) \cos^{6}x dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\pi} ( \cos^{6}x- \sin x \cos^{6}x) dx \end{align}$
ここで、３倍角の公式から、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\pi} \cos^{6}x dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\pi} \left(\dfrac{\cos 3x+3 \cos x}{4}\right)^2 dx \\
&=\dfrac{1}{16} \displaystyle \int_0^{\pi} ( \cos^{2}3x+6 \cos 3x \cos x+9 \cos^{2}x ) dx \\
&=\dfrac{1}{16} \displaystyle \int_0^{\pi} \left(\dfrac{1+ \cos 6x}{2}+3( \cos 4x+ \cos 2x )+9 \cdot \dfrac{1+ \cos 2x}{2}\right) dx \\
&=\dfrac{1}{16} \left[\dfrac{1}{12} \sin 6x+\dfrac{3}{4} \sin 4x+\dfrac{15}{4} \sin 2x+5x\right]_0^{\pi} \\
&=\dfrac{5}{16} \pi \end{align}$
であり、また、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\pi} \sin x \cos^{6}x dx \\
&=\left[-\dfrac{1}{7} \cos ^7x \right]_0^{\pi} \\
&=\dfrac{2}{7} \end{align}$
であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\pi} ( \cos^{6}x- \sin x \cos^{6}x) dx \\
&=\dfrac{5}{16} \pi -\dfrac{2}{7} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（注）
$\displaystyle \int_0^{\pi} \cos^{6}x dx$ の計算は２倍角の公式の展開によっても可能。
復習例題未設定