問題3.2.5
自然数 $m、n$ に対して、次の式が成り立つことを示せ。
（１）
$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx dx=0$
（２）
$\begin{align}\displaystyle & \ \ \ \ \ \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx dx=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx \\ &=\begin{cases} \pi \ (m=n) \\ 0 (m \ne n) \end{cases}\end{align}$
《ポイント》
自然数 $m、n$ が等しいときと等しくないときで場合分けします。積和公式を利用して積分しやすい形にしましょう。この2つは大学入試にもしばしば登場する関係式です。これを知っていれば $-\pi$ から $\pi$ までの積分計算をかなり簡略に済ますことができます。
《解答例》
（１）
積和公式から、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \sin mx \cos nx \\
&=\dfrac{1}{2} \{ \sin (m+n)x+ \sin (m-n)x \} \end{align}$
であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx dx \\
&=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \{ \sin (m+n)x+ \sin (m-n)x \} dx \ \cdots (\ast) \end{align}$
ⅰ）$m-n=0$ のとき
$\begin{align}(\ast)&=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin 2mx dx \\
&=\dfrac{1}{2} \left[-\dfrac{1}{2}m \cos 2mx \right]_{-\pi}^{\pi} \\
&=0 \end{align}$
ⅱ）$m-n \ne 0$ のとき
$\begin{align}(\ast)&=\dfrac{1}{2} \left[-\dfrac{1}{m+n} \cos (m+n)x-\dfrac{1}{m-n} \cos (m-n)x \right]_{-\pi}^{\pi} \\
&=-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{m+n} \{ \cos (m+n)\pi- \cos ((m+n)(-\pi)) \} \\
& \ \ \ \ \ -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{m-n}\{ \cos (m-n)\pi- \cos ((m-n)(-\pi)) \} \\
&=-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{m+n} \{ \cos (m+n)\pi- \cos (m+n)\pi \} \\
& \ \ \ \ \ -\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{m-n} \{ \cos (m-n)\pi- \cos (m-n)\pi \} \\
&=0 \end{align}$
以上より、
$$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \cos nx dx=0$$
が示された。
（２）
積和公式から、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx dx \\
&=-\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \{ \cos (m+n)x- \cos (m-n)x \} dx \ \cdots ① \end{align}$
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx \\
&=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \{ \cos (m+n)x+ \cos (m-n)x \} dx \ \cdots ② \end{align}$
ⅰ）$m-n=0$ のとき
$\begin{align}①&=-\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} ( \cos 2mx-1) dx \\
&=-\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{2}m \sin 2mx-x\right]_{-\pi}^{\pi} \\
&=\dfrac{1}{2} \{\pi-(-\pi)\} \\
&=\pi \end{align}$
$\begin{align}②&=\dfrac{1}{2} \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} ( \cos 2mx+1) dx \\
&=\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{2}m \sin 2mx+x\right]_{-\pi}^{\pi} \\
&=\dfrac{1}{2} \{\pi-(-\pi)\} \\
&=\pi \end{align}$
ⅱ）$m-n \ne 0$ のとき
$\begin{align}①&=-\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{m+n} \sin (m+n)x-\dfrac{1}{m-n} \sin (m-n)x \right]_{-\pi}^{\pi} \\
&=0 \end{align}$
$\begin{align}②&=\dfrac{1}{2} \left[\dfrac{1}{m+n} \sin (m+n)x+\dfrac{1}{m-n} \sin (m-n)x \right]_{-\pi}^{\pi} \\
&=0 \end{align}$
以上より、
$$\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \sin mx \sin nx dx=\displaystyle \int_{-\pi}^{\pi} \cos mx \cos nx dx=\begin{cases} \pi \ (m=n) \\ 0 (m \ne n) \end{cases} $$
が示された。
この問題に復習例題は設定していません。