問題3.3.5
$a,b>-1$ のとき、次の等式を示せ。$$\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{a} \theta \cos^{b} \theta d \theta = \dfrac{1}{2} B \left( \dfrac{a+1}{2},\dfrac{b+1}{2} \right)$$
《ポイント》
ベータ関数$B(p,q)$は三角関数を用いた形に直せることが知られています。本問はこれを証明させる問題です。教科書にはヒントが書いてありますが、指数に着目すれば $x=\sin^2 \theta$ または $x=\cos^2 \theta$ の置換が適当であることが分かります。この置換により、与えられた等式を導くことができます。
なお、ガンマ関数とベータ関数はともに積分計算で威力を発揮します。詳しくは第5章の重積分の範囲で学習します。
《解答例》
ベータ関数の定義式$\displaystyle \int_{0}^{1} x^{p-1}(1-x)^{q-1} dx$より、与式の右辺について
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{1}{2} B \left( \dfrac{a+1}{2},\dfrac{b+1}{2} \right) \\
&=\displaystyle \dfrac{1}{2} \int_{0}^{1} x^{\frac{a+1}{2}-1}(1-x)^{\frac{b+1}{2}-1} dx \end{align}$
となる。ここで $x=\sin^2 \theta$ と置くと、$dx=2\sin \theta \cos \theta d\theta$ となり、
$x：0 \to 1$ のとき $\theta ：0 \to \dfrac{\pi}{2}$
となるから
$\begin{align}&=\displaystyle \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{a-1} \cos ^{b-1} \cdot 2\sin \theta \cos \theta d\theta \\
&=\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{a} \cos ^{b} d\theta \end{align}$
$\ =$（左辺）
よって与式は示された。
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この問題に復習例題は設定していません。