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問題5.4.5a

次の図形の曲面積を求めよ（$a>0$）。

（１）曲線 $y=\sin x$ を$x$軸の周りに回転した図形

（２）カテナリー $y={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})$（$-a\leqq x\leqq a$）を$x$軸の周りに回転した図形

 

《ポイント》

$y=f(x)$（$a\leqq x\leqq b$）を$x$軸の周りに回転してできる曲面$K$の曲面積が$$S(K)=2\pi {\int }_a^b|f(x)|\sqrt{1+{f^{\prime }(x)}^2}dx$$で与えられることを利用します。

 

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《解答例》

（１）曲線 $y=\sin x$ を$x$軸の周りに回転した図形

曲線 $y=\sin x$ の周期性を考えて $0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ の範囲で計算し、$4$倍すればよい。即ち、
$$\begin{array}{rl}S& =2\pi {\int }_0^{2\pi }|\sin x|\sqrt{1+{\cos }^{2}x}dx\\ & =4\cdot 2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\sqrt{1+{\cos }^{2}x}dx\end{array}$$となる。ここで $t=\cos x$ と置くと $x:0\to {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ のとき $t:1\to 0$ となり、$dt=-\sin xdx$ となるから、$$\begin{array}{rl}& 4\cdot 2\pi {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin x\sqrt{1+{\cos }^{2}x}dx\\ & =-4\cdot 2\pi {\int }_1^0\sqrt{1+t^2}dt\\ & =8\pi {\int }_0^1\sqrt{1+t^2}dt\\ & =8\pi {\left[{\displaystyle \frac{1}{2}}\{t\sqrt{1+t^2}+\log (t+\sqrt{1+t^2})\}\right]}_0^1\\ & =4\pi \{\sqrt{2}+\log (1+\sqrt{2})\}\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$と求められる。

 

 

（２）カテナリー $y={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})$（$-a\leqq x\leqq a$）を$x$軸の周りに回転した図形

$y^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}})$ より、
$$\begin{array}{rl}S& =2\pi {\int }_{-a}^a{\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})\sqrt{1+{({\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}))}^2}dx\\ & =\pi a{\int }_{-a}^a{\displaystyle \frac{1}{2}}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}{)}^{2}dx\\ & =\pi a{\int }_0^a(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}{)}^{2}dx\\ & =\pi a{\int }_0^a(e^{\frac{2x}{a}}+2+e^{-\frac{2x}{a}})dx\\ & =\pi a{[{\displaystyle \frac{a}{2}}{e}^{\frac{2x}{a}}+2x-{\displaystyle \frac{a}{2}}{e}^{-\frac{2x}{a}}]}_0^a\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}\pi a^2(e^2-e^{-2}+4)\cdots \cdots \text{(答)}\end{array}$$と求められる。

 

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復習例題は設定していません。

 

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