問題5.4.5a
次の図形の曲面積を求めよ（$a>0$）。
（１）曲線 $y=\sin x$ を$x$軸の周りに回転した図形
（２）カテナリー $y=\dfrac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})$（$-a \leqq x \leqq a$）を$x$軸の周りに回転した図形
《ポイント》
$y=f(x)$（$a \leqq x \leqq b$）を$x$軸の周りに回転してできる曲面$K$の曲面積が$$S(K)=2\pi\int^{b}_{a}|{f(x)}|\sqrt{1+{f^{\prime}(x)}^2}dx$$で与えられることを利用します。
《解答例》
（１）曲線 $y=\sin x$ を$x$軸の周りに回転した図形
曲線 $y=\sin x$ の周期性を考えて $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ の範囲で計算し、$4$倍すればよい。即ち、
$$\begin{align}S&=2\pi \int^{2\pi}_{0}|\sin x|\sqrt{\smash[b]{1+\cos^2 x}}\ dx \\ &=4 \cdot 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin x \sqrt{\smash[b]{1+\cos^2 x}}\ dx \end{align}$$となる。ここで $t=\cos x$ と置くと $x:0 \to \dfrac{\pi}{2}$ のとき $t:1 \to 0$ となり、$dt=-\sin x \ dx$ となるから、$$\begin{align}&\ \ \ \ \ 4 \cdot 2\pi \int^{\frac{\pi}{2}}_{0}\sin x \sqrt{\smash[b]{1+\cos^2 x}}\ dx \\ &= -4 \cdot 2\pi \int^{0}_{1} \sqrt{\smash[b]{1+t^2}}\ dt \\ &= 8\pi \int^{1}_{0} \sqrt{\smash[b]{1+t^2}}\ dt \\ &=8\pi \left[\dfrac{1}{2}\left\{t\sqrt{1+t^2}+\log\left(t+\sqrt{1+t^2}\right)\right\}\right]^{1}_{0} \\ &=4\pi\left\{\sqrt{2}+\log\left(1+\sqrt{2}\right)\right\} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と求められる。
（２）カテナリー $y=\dfrac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})$（$-a \leqq x \leqq a$）を$x$軸の周りに回転した図形
$y^{\ \prime}=\dfrac{1}{2}(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}})$ より、
$$\begin{align}S&=2\pi \int^{a}_{-a}\dfrac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})\sqrt{1+\left(\dfrac{1}{2}(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}})\right)^2}\ dx \\ &=\pi a\int^{a}_{-a}\dfrac{1}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})^2\ dx \\ &=\pi a\int^{a}_{0}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})^2\ dx \\ &=\pi a\int^{a}_{0}(e^{\frac{2x}{a}}+2+e^{-\frac{2x}{a}})\ dx \\ &=\pi a\left[\dfrac{a}{2}e^{\frac{2x}{a}}+2x-\dfrac{a}{2}e^{-\frac{2x}{a}}\right]^{a}_{0} \\ &=\dfrac{1}{2}\pi a^2(e^2-e^{-2}+4) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$$と求められる。
復習例題は設定していません。