微積1.1.1

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問題1.1.1

　次の数列$\{a_n\}$の極限を求めよ。

　（１）$a_n={(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n$　　　（２）$a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

 

《ポイント》

「極限を求めよ。」とあるので収束は前提として良いでしょう。いずれも数Ⅲの範囲で解答できますね。

（１）は自然対数の底（ネイピア数）の定義に持ち込んで極限値を求めます。

（２）はそのままだと$\mathrm{\infty }–\mathrm{\infty }$の不定形となってしまうので、まず式変形でこれを解消します。

 

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《（１）解答例　》

$-{\displaystyle \frac{1}{n}}=m$と置くと、

$$a_n={(1-{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n={(1+m)}^{-\frac{1}{m}}$$となる。

$n\to \mathrm{\infty }$のとき、$m\to 0$である。$m\to 0$のとき、$(1+m{)}^{\frac{1}{m}}\to e$であるから、

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n={\displaystyle \underset{m\to 0}{lim}{(1+m)}^{-\frac{1}{m}}=e^{-1}={\displaystyle \frac{1}{e}}\cdots \cdots \text{(答)}}}$

と求められる。

 

《（２）解答例　》

$\begin{array}{rl}{a}_n& =\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\\ & ={\displaystyle \frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\\ & ={\displaystyle \frac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\\ & ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}\end{array}$

$n\to \mathrm{\infty }$のとき、$\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\to \mathrm{\infty }$であるから、

${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0\cdots \cdots \text{(答)}}$

と求められる。

 

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復習例題1.1.1

　次の数列$\{a_n\}$の極限を求めよ。

（１）$a_n={(1+{\displaystyle \frac{1}{n^2}})}^n$
（２）$a_n=n({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{n+2}}})$

 

＞＞解答・解説

 

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