問題1.3.1
次の値を求めよ。
（１）$\cos^{-1} \dfrac{1}{2}$
（２）$\sin^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{2} \right)$
（３）$\tan^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{3} \right)$
（４）$\cos^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{2} \right)$
《ポイント》
教科書でも三角関数の逆関数である「逆三角関数」について説明されていますが、ここで重要なのはその定義域です。$\sin^{-1} x$と$\cos^{-1} x$は$-1 \leqq x \leqq 1$で定義され、$\tan^{-1} x$は$-\infty < x < \infty$（全実数）で定義されます。また、これに伴って値域はそれぞれ以下のようになります。
$$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \sin^{-1} x \leqq \dfrac{\pi}{2}、0 \leqq \cos^{-1} x \leqq \pi、-\dfrac{\pi}{2} \leqq \tan^{-1} x \leqq \dfrac{\pi}{2}$$
それぞれのグラフの形を覚えておくというより、普通の三角関数のグラフを$y=x$に関して反転させる、と考えた方が分かりやすいと思います。逆三角関数はある程度慣れも必要です。
《解答例》
（１）
$\cos^{-1} \dfrac{1}{2}=\theta$と置く。$\cos \theta =\dfrac{1}{2}$を満たす$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めると、
$$\theta =\dfrac{\pi}{3} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
を得る。
（２）
$\sin^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{2} \right)=\theta$と置く。$\sin \theta =-\dfrac{\sqrt 3}{2}$を満たす$\theta$を$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$の範囲で求めると、
$$\theta =-\dfrac{\pi}{3} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
を得る。
（３）
$\tan^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{3} \right)=\theta$と置く。$\tan \theta = -\dfrac{\sqrt 3}{2}$を満たす$\theta$を$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$の範囲で求めると、
$$\theta =-\dfrac{\pi}{6} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
を得る。
（４）
$\sin^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{2} \right)=\theta$と置く。$\cos \theta =-\dfrac{\sqrt 3}{2}$を満たす$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めると、
$$\theta =\dfrac{5}{6}\pi \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
を得る。
《コメント》
いずれも有名角です。
復習例題1.3.1
次の値を求めよ。
（１）$\cos \left( \cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} \right)$
（２）$\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} +\cos^{-1} \dfrac{1}{2}$
（３）$\sin^{-1} \dfrac{1}{2} +\sin^{-1} \left( -\dfrac{1}{2} \right)$