培風館『入門微分積分』第1章・問題1.3.1の解答解説です。問題文、解法の要点、途中式を含む解答例を整理しています。
問題1.3.1
（１）$\cos^{-1} \dfrac{1}{2}$
（２）$\sin^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{2} \right)$
（３）$\tan^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{3} \right)$
（４）$\cos^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{2} \right)$
解法の要点
$$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \sin^{-1} x \leqq \dfrac{\pi}{2}、0 \leqq \cos^{-1} x \leqq \pi、-\dfrac{\pi}{2} \leqq \tan^{-1} x \leqq \dfrac{\pi}{2}$$
それぞれのグラフの形を覚えておくというより、普通の三角関数のグラフを$y=x$に関して反転させる、と考えた方が分かりやすいと思います。逆三角関数はある程度慣れも必要です。
解答例
$\cos^{-1} \dfrac{1}{2}=\theta$と置く。$\cos \theta =\dfrac{1}{2}$を満たす$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めると、
$$\theta =\dfrac{\pi}{3} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
を得る。
（２）
$\sin^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{2} \right)=\theta$と置く。$\sin \theta =-\dfrac{\sqrt 3}{2}$を満たす$\theta$を$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$の範囲で求めると、
$$\theta =-\dfrac{\pi}{3} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
を得る。
（３）
$\tan^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{3} \right)=\theta$と置く。$\tan \theta = -\dfrac{\sqrt 3}{2}$を満たす$\theta$を$-\dfrac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$の範囲で求めると、
$$\theta =-\dfrac{\pi}{6} \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
を得る。
（４）
$\sin^{-1} \left( -\dfrac{\sqrt 3}{2} \right)=\theta$と置く。$\cos \theta =-\dfrac{\sqrt 3}{2}$を満たす$\theta$を$0 \leqq \theta \leqq \pi$の範囲で求めると、
$$\theta =\dfrac{5}{6}\pi \ \ \cdots \cdots (\text{答})$$
を得る。
《コメント》
いずれも有名角です。
復習例題1.3.1
次の値を求めよ。
（１）$\cos \left( \cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} \right)$
（２）$\cos^{-1} \dfrac{\sqrt 3}{2} +\cos^{-1} \dfrac{1}{2}$
（３）$\sin^{-1} \dfrac{1}{2} +\sin^{-1} \left( -\dfrac{1}{2} \right)$