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問題1.3.5
のとき、次の(1)~(4)を示せ。
(1)
が自然数のとき、となる実数がただ一つ存在することを示せ。
(2)
が正の有理数であり、自然数を用いてと表せるとき、と定義する。この定義は自然数の取り方に依らないことを示せ。また、が有理数でのとき、であることを示せ。
(3)
が実数であるとし、数列を単調増加な有理数列でとなるものとするとき、数列は収束すること、およびその極限値は数列の取り方に依らないことを示せ。
(4)
このようにして全実数で定義された関数 は連続関数であることを示せ。
《ポイント》
が定数であることに注意しましょう。どの文字が変数でどの文字が定数なのかに気を付けながら証明してください。
《解答例》
(1)
のとき、であるから、十分大きな実数についてが成り立つ。だからが帰納的に言えるのでは単調に増加する。
の単調増加性、および中間値の定理より、区間においてとなる実数 がただ一つ存在する。
(2)
(正の有理数)のときが一意に定まることを示す。
(1)で定義した実数はを満たすから、となり、ここでと置くと(1)の結果よりであるから、となる。これはすべての自然数について言える。つまり、すべての正の有理数について言える。よって示された。
また、と置くと、
が成り立つから、が示された。
(3)
とすると、と(2)の結果よりが成立し、だから数列は有界である。有界な単調増加数列は収束するからは収束し、極限値はである。この議論はの定め方に依っていないから、題意は示された。
(4)
を任意の実数とする。定義「」に注意すると、
であるから、
となる。よって関数 は連続関数である。
《コメント》
何を議論しているのか分かりにくい問題です。は常に定数ですが、(1)ではは変数、(2)と(3)では定数になっています。証明問題では自分が今、何を示そうとしているのかを文章化してみるのも良い訓練になります。
の場合は大小関係が逆転するだけで、同様の議論が可能です。
復習例題は設定していません。
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