問題2.2.4b
極限を求めよ。
（６）$x^{\frac{1}{x}}$
（７）$x^{\frac{x}{1-x} }$
（８）$\dfrac{x \log x}{1-x^2}$
（９）$\left(1+\dfrac{a}{x^2+x}\right)^{x^2}$
（１０）$\dfrac{a^x-b^x}{x}$
《ポイント》
基本的には前ページの《ポイント》を参照してもらえれば良いのですが、問題2.2.4の後半は自然対数と取ってからロピタルの定理を使うパターンが出てきます。
指数部分に$x$の式があるものは$\log$を取らないとほとんど解答できません。
※以下ではロピタルの定理を使用した式変形の等号の上に「$(L)$」という記号を振っていますが、一般的なものではなく、答案を分かりやすくしただけなので答案には書かないで下さいね（答案の中で一言断れば書いてもいいとは思いますが･･･）。
《解答例》
（６）
$y=x^{\frac{1}{x}}$ として両辺に自然対数を取ると、$ \log y=\dfrac{\log x}{x}$と簡単になるので、$\dfrac{\log x}{x}$の極限を調べる。
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \log y &= \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{\log x}{x} \\ & \stackrel{(L)}{=} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{x} \\ &=0 \end{align}$
よって、$\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}}=1 \ \ \cdots \cdots \text{(答)} $
（７）
$y=x^{\frac{x}{1-x} }$ として両辺に自然対数を取ると、 $\log y=\dfrac{x \log x}{1-x}$と簡単になるので、$\dfrac{x \log x}{1-x}$ の極限を調べる。
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x\to 1} \log y &= \displaystyle \lim_{x\to 1} \dfrac{x \log x}{1-x} \\ & \stackrel{(L)}{=} \displaystyle \lim_{x\to 1} \dfrac{\log x+1}{-1}=-1 \end{align}$
$∴\displaystyle \lim_{x\to 1} x^{\frac{x}{1-x} }=\dfrac{1}{e} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} $
（８）
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x\to 1} \dfrac{x \log x}{1-x^2} & \stackrel{(L)}{=} \displaystyle \lim_{x\to 1}\dfrac{\log x+1}{-2x} \\ &=-\dfrac{1}{2} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（９）
$y=\left(1+\dfrac{a}{x^2+x}\right)^{x^2}$ として両辺に自然対数を取ると、
$\begin{align}\log y &=x^2 \log \left(\dfrac{x^2+x+a}{x^2+x}\right) \\ &=\dfrac{\log (x^2+x+a)}{\dfrac{1}{x^2}}-\dfrac{\log (x^2+x)}{\dfrac{1}{x^2} } \end{align}$
となる。
$\begin{align}& \ \ \ \ \displaystyle \lim_{x \to \infty} \log y \\ &=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left\{ \dfrac{\log (x^2+x+a)}{ \dfrac{1}{x^2} }-\dfrac{\log (x^2+x)}{\dfrac{1}{x^2}} \right\} \\ & \stackrel{(L)}{=} \displaystyle \lim_{x \to \infty} \left\{\dfrac{\dfrac{2x+1}{x^2+x+a}}{\dfrac{-2}{x^3}}-\dfrac{\dfrac{2x+1}{x^2+x}}{\dfrac{-2}{x^3}} \right\} \\
&=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left\{ -\dfrac{(2x+1) x^3}{2(x^2+x+a)} +\dfrac{(2x+1) x^3)}{2(x^2+x)}\right\} \\ &=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left\{ \dfrac{a(2x^4+x^3 )}{2(x^2+x+a)(x^2+x)} \right\} \\ &=\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left\{ \dfrac{a \left(2+\dfrac{1}{x} \right) }{2\left( 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{a}{x^2} \right) \left( 1+\dfrac{1}{x} \right)} \right\} \\ &=a \end{align}$
$∴\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left(1+\dfrac{a}{x^2+x}\right)^{x^2}=e^a \ \ \cdots \cdots \text{(答)}$
（１０）
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{a^x-b^x}{x} & \stackrel{(L)}{=} \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{a^x \log a-b^x \log b}{1} \\ &=\log a-\log b \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
《コメント》
ロピタルの定理と$\log$を組み合わせればほぼすべての関数の極限を求めることができます。
復習例題未設定