問題2.3.1c
次の関数の$n$次（$n \geqq 1$）の導関数を求めよ。
（７）$y=\dfrac{1}{x^2-x-2}$
（８）$y=\dfrac{e^x}{1-x}$
《ポイント》
（７）は部分分数分解をします。（８）は $\dfrac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}$と見なしてライプニッツの定理を利用します。
《解答例》
（７）
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \dfrac{1}{x^2-x-2} \\ &=\dfrac{1}{(x-2)(x+1)} \\ &=\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x+1} \right) \\ &=\dfrac{1}{3} (x-2)^{-1}-\dfrac{1}{3} (x+1)^{-1} \end{align}$
$f(x)=(x-2)^{-1}$、$g(x)=(x+1)^{-1}$とおくと、
$f^{(1)} (x)=-(x-2)^{-2} $、$f^{(2)} (x)=2(x-2)^{-3}$ 、$\cdots$、
$g^{(1)} (x)=-(x+1)^{-2}$ 、$g^{(2)} (x)=2(x+1)^{-3}$ 、$\cdots$、
となるから、
$(\ast)：\begin{cases} f^{(n)}(x) =(-1)^n \cdot n! \cdot (x-2)^{-(n+1)} \\ g^{(n)} (x) =(-1)^n\cdot n!\cdot (x+1)^{-(n+1)} \end{cases}$
と予想できる。これを数学的帰納法により示す。
$n=1$のとき、上記の通り成立している。$n$のとき$(\ast)$の成立を仮定すると、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ f^{(n+1)} (x)\\ &=\dfrac{d}{dx} {f^{(n)} (x)} \\
&=(-1)^n\cdot n!\cdot \dfrac{d}{dx} {(x-2)^{-(n+1)} } \\
&=(-1)^n\cdot n!\cdot {-(n+1)} (x-2)^{-(n+1)-1} \\
&=(-1)^{n+1}\cdot (n+1)!\cdot (x-2)^{-(n+2)} \end{align}$
また、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ g^{(n+1)} (x) =\dfrac{d}{dx} {g^{(n)} (x)} \\
&=(-1)^n \cdot n! \cdot \dfrac{d}{dx} {(x+1)^{-(n+1)} } \\
&=(-1)^n\cdot n!\cdot {-(n+1)} (x+1)^{-(n+1)-1} \\
&=(-1)^{n+1} \cdot (n+1)! \cdot (x+1)^{-(n+2)} \end{align}$
となり$n+1$のときも成立している。以上より、数学的帰納法により$(\ast)$が示された。故に $y=\dfrac{1}{x^2-x-2}$ の$n$次導関数は
$\begin{align} & \ \ \ \ \ \dfrac{1}{3} f^{(n)} (x)-\dfrac{1}{3} g^{(n)} (x) \\
&=\dfrac{(-1)^n \cdot n!}{3} \left\{ (x-2)^{-(n+1)}-(x+1)^{-(n+1)} \right\} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
となる。
（８）
$f(x)=(1-x)^{-1}$、$g(x)=e^x$とおくと、$f^{(1)} (x)=(1-x)^{-2}$ 、$f^{(2)} (x)=2(1-x)^{-3}$ 、$\cdots$、となるから $f^{(n)} (x)=n! \cdot (1-x)^{-(n+1)}$ と予想できる。これを数学的帰納法により示す。
$n=1$のとき、上記の通り成立している。$n$のとき成立を仮定すると、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ f^{(n+1)} (x) \\ &=\dfrac{d}{dx} {f^{(n)} (x)}\\ &=n!\cdot \dfrac{d}{dx} {(1-x)^{-(n+1)} } \\
&=n!\cdot (-1)\cdot {-(n+1)} (x-1)^{-(n+1)-1} \\
&=(n+1)!\cdot (x-1)^{-(n+2)} \end{align}$
となり$n+1$のときも成立している。以上より、数学的帰納法により示された。
また、$g^{(n)} (x)=e^x$であるから、$(1-x)^{-1} e^x$の$n$次導関数はライプニッツの定理より、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ \dfrac{d^n}{dx^n} \{ (1-x)^{-1} e^x \} \\
&=\displaystyle \sum_{k=0}^n {}_{n} \mathrm{C}_k \cdot f^{(n-k)}(x) \cdot g^{(k)}(x) \\
&=\sum_{k=0}^n \left[ \dfrac{n!}{k!\cdot (n-k)!} \{ (n-k)!\cdot (x-1)^{-(n-k+1)} \} \cdot e^x \right] \\
&=\sum_{k=0}^n \left[ \dfrac{n!}{k!} \cdot (x-1)^{-(n-k+1)} \cdot e^x \right] \\
&=n!\cdot e^x\cdot \sum_{k=0}^n \left\{ \dfrac{1}{k!} \cdot (x-1)^{-(n+1)} \cdot (x-1)^k \right\} \\
&=n! \ e^x (x-1)^{-(n+1)} \sum_{k=0}^n \dfrac{(x-1)^k}{k!} \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
となる。
復習例題未設定