問題2.3.4
$y=f(x)$の逆関数を$x=f^{-1} (y)$とする。$f$が２回微分可能で $f'(x) \ne 0$ ならば、$f^{-1} (y)$も$y$に関して２回微分可能であり、次の式が成り立つことを示せ。
$$\dfrac{d^2 x}{dy^2}=-\dfrac{\dfrac{d^2 y}{dx^2} }{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3}$$
《ポイント》
逆関数 $x=f^{-1} (y)$ とは、$b=f(a)$のとき、$x=b$を
代入すると$y=a$を返す関数のことです。したがって$f^{-1} (x)$の微分係数は $\dfrac{dx}{dy}$ となります。どの変数で微分しているのか、よく注意して式変形を進めましょう。
《解答例》
まず $\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)}$ に注意する。
$$\dfrac{d^2 x}{dy^2}=-\dfrac{\dfrac{d^2 y}{dx^2} }{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3} \ \cdots \cdots (\ast)$$とする。
$(\ast)$の左辺について、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ \dfrac{d^2 x}{dy^2}=\dfrac{d}{dy} \cdot \dfrac{dx}{dy} \\
&=\dfrac{d}{dy} \dfrac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)} \\
&=-\dfrac{d}{dy} \cdot \dfrac{\left( \dfrac{dy}{dx}\right)}{\left(\dfrac{dy}{dx} \right)^2} \ \ (∵\text{商の微分}) \end{align}$
となり、$(\ast)$の右辺について、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ -\dfrac{\left( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \right)}{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3}=-\dfrac{\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{dy}{dx}\right) }{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^3} \\
&=-\dfrac{d}{dx} \cdot \dfrac{1}{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)} \cdot \dfrac{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} \\
&=-\dfrac{d}{dx}\cdot \dfrac{dx}{dy}\cdot \dfrac{\dfrac{dy}{dx}}{\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} \\
&=-\dfrac{\dfrac{d}{dy} \left( \dfrac{dy}{dx} \right)}{\left( \dfrac{dy}{dx} \right)^2} \end{align}$
となるので（左辺）＝（右辺）が成立するから、等式
$$\dfrac{d^2 x}{dy^2}=-\dfrac{\dfrac{d^2 y}{dx^2} }{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3}$$
の成立が示された。
【別解】
$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{f'(x)}$ の両辺を$y$で微分すると、
$\begin{align} & \ \ \ \ \ \dfrac{d^2 x}{dy^2}=\dfrac{d}{dy} \cdot \dfrac{1}{f'(x)} \\
&=\dfrac{d}{dx}\cdot \dfrac{1}{f'(x)} \cdot \dfrac{dx}{dy} \\
&=-\dfrac{f^{\prime\prime} (x)}{\{f’ (x)\}^2} \cdot \dfrac{1}{f'(x)} \end{align}$
$$∴\dfrac{d^2 x}{dy^2}=-\dfrac{\dfrac{d^2 y}{dx^2} }{ \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^3}$$
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