問題3.4.1
次の曲線の長さを求めよ。
（１）$y=x^2$ $(0 \leqq x \leqq 1)$
（２）$y=\log x$ $(1 \leqq x \leqq a)$
（３）$y=\log \cos x$ $(0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{4})$
（４）$y=\dfrac{a}{2}(e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}})$ $(0 \leqq x \leqq b、a>0)$（カテナリー）
《ポイント》
陽関数 $y=f(x)$ の閉区間$[a,b]$における曲線の長さは$$\displaystyle \int_a^{b} \sqrt{1+\{f'(x)\}^2}dx$$で表されます。これは区分求積法によって証明することができます。$f(x)$の形によっては積分計算が難しくなることがあります。特に、$a \ne 0$ として$$(\ast) \ \displaystyle \int \sqrt{a+x^2}dx=\dfrac{1}{2}\left(x\sqrt{a+x^2}+a\log \left(x+\sqrt{a+x^2}\right)\right)$$という公式は重宝しますので、しっかり覚えておきましょう。
《解答例》
（１）
求める曲線の長さを$l$とすると、
$\begin{align}&l = \displaystyle \int_0^1 \sqrt{1+(2x)^2}dx \\
&= \displaystyle \int_0^1 4\sqrt{\dfrac{1}{4}+x^2}dx \\
&=\left[4 \cdot \dfrac{1}{2}\left\{x\sqrt{\dfrac{1}{4}+x^2}+\dfrac{1}{4}\log \left(x+\sqrt{\dfrac{1}{4}+x^2}\right)\right\}\right]_0^{1} \\
&=\dfrac{\sqrt{5}}{2}+\dfrac{1}{4}(2+\sqrt{5}) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
※途中で公式$(\ast)$を用いた。
（２）
求める曲線の長さを$l$とすると、
$\begin{align}&l = \displaystyle \int_1^a \sqrt{1+\left(\dfrac{1}{x}\right)^2}dx \\
&= \displaystyle \int_1^a \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx \end{align}$
となる。ここで $t=\sqrt{x^2+1}$ と置くと$$\dfrac{dt}{dx}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$より、$$dt=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx$$となる。また、$x：1 \to a$ のとき、$t：\sqrt{2} \to \sqrt{a^2+1}$ であるから、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_1^a \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx \\
&=\displaystyle \int_1^a \dfrac{x^2+1}{x} \cdot \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}} \\
&=\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{a^2+1}} \dfrac{t^2}{t^2-1}dt \\
&=\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{a^2+1}} \left(1+\dfrac{1}{t^2-1}\right)dt \\
&=\displaystyle \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{a^2+1}} \left\{1+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1}\right)\right\}dt \\
&=\left[t +\dfrac{1}{2}(\log |t-1|-\log |t+1|)\right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{a^2+1}} \\
&=\left[t +\dfrac{1}{2}\log \left|\dfrac{t-1}{t+1}\right|\right]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{a^2+1}} \\
&=\sqrt{a^2+1}-\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\log \dfrac{\sqrt{a^2+1}-1}{\sqrt{a^2+1}+1}-\dfrac{1}{2}\log \dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} \\
&=\sqrt{a^2+1}-\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\log \dfrac{(\sqrt{a^2+1}-1)^2}{(a^2+1)-1}-\dfrac{1}{2}\log \dfrac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1} \\
&=\sqrt{a^2+1}-\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}\log \left(\dfrac{\sqrt{a^2+1}-1}{a}\right)^2-\dfrac{1}{2}\log (\sqrt{2}-1)^2 \\
&=\sqrt{a^2+1}-\sqrt{2}+\log (\sqrt{a^2+1}-1)-\log a-\log (\sqrt{2}-1) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（※別解）
$t=x+\sqrt{x^2+1}$ と置く方法もあります。この置換によれば、$x=\dfrac{t^2-1}{2t}$ となる（これはすぐに計算できます）ので、$$\sqrt{x^2+1}=t-\dfrac{t^2-1}{2t}=\dfrac{t^2+1}{2t}$$ であり、$t=x+\sqrt{x^2+1}$ の両辺を$x$で微分して、$$\dfrac{dt}{dx}=1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$$ $$\therefore dt=\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}}dx$$ $$\begin{align} \therefore dx &=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}dt \\ &=\dfrac{t^2+1}{2t^2}dt \end{align}$$ を得ます。これより、
$\begin{align}& \ \ \ \ \ \displaystyle \int_1^a \dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx \\
&=\displaystyle \int_{1+\sqrt{2}}^{a+\sqrt{a^2+1}} \dfrac{t^2-1}{2t} \cdot \dfrac{2t}{t^2+1} \cdot \dfrac{t^2+1}{2t^2}dt \\
&=\displaystyle \int_{1+\sqrt{2}}^{a+\sqrt{a^2+1}} \dfrac{(t^2+1)^2}{2t^2(t^2-1)}dt \\
&=\displaystyle \int_{1+\sqrt{2}}^{a+\sqrt{a^2+1}} \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{t-1}-\dfrac{1}{t+1} -\dfrac{1}{2t^2}\right)dt \\
&=\left[\dfrac{1}{2}t+\log (t-1)-\log (t+1) +\dfrac{1}{2t}\right]_{1+\sqrt{2}}^{a+\sqrt{a^2+1}} \\
&=\sqrt{a^2+1}-\sqrt{2}+\log (\sqrt{a^2+1}-1)-\log a-\log (\sqrt{2}-1) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
を得ます（最後に代入して計算する過程は本解と同様のため省略しました）。
（３）
求める曲線の長さを$l$とすると、
$\begin{align}&l = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{1+\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^2}dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\dfrac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}}dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sqrt{\dfrac{1}{\cos^2 x}}dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{1}{\cos x}dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x}{\cos^2 x}dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx \end{align}$
となる。ここで $\sin x=t$ と置くと $\dfrac{dt}{dx}=\cos x$ より、 $dt=\cos x dx$ となる。また、$x：0 \to \dfrac{\pi}{4}$ のとき、$t：0 \to \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、
$\begin{align}&\ \ \ \ \ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \dfrac{\cos x}{1-\sin^2 x}dx \\
&=\displaystyle \int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \dfrac{dt}{1-t^2} \\
&=\displaystyle \dfrac{1}{2}\int_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \left(\dfrac{1}{1+t}-\dfrac{1}{1-t}\right)dt \\
&=\displaystyle \dfrac{1}{2}\left[\log|1+t|-\log|1-t|\right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\
&=\displaystyle \dfrac{1}{2}\left[\log\left|\dfrac{1+t}{1-t}\right|\right]_0^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \\
&=\displaystyle \dfrac{1}{2}\log\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \\
&=\displaystyle \dfrac{1}{2}\log(\sqrt{2}+1)^2 \\
&=\displaystyle \log(\sqrt{2}+1) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
（４）
求める曲線の長さを$l$とすると、
$\begin{align}&l = \displaystyle \int_0^{b} \sqrt{1+\left\{\dfrac{1}{2}(e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}})\right\}^2}dx \\
&=\displaystyle \int_0^{b} \sqrt{\left(\dfrac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2}\right)^2}dx \\
&=\displaystyle \int_0^{b} \dfrac{e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}}{2}dx \\
&=\displaystyle \dfrac{1}{2}\left[ae^{\frac{x}{a}}-ae^{-\frac{x}{a}}\right]_0^{b} \\
&=\displaystyle \dfrac{a}{2}(e^{\frac{b}{a}}-e^{-\frac{b}{a}}) \ \ \cdots \cdots \text{(答)} \end{align}$
復習例題未設定